Poisson Zebre

la densité : f (x) = √ (x − µ)2 1 exp − 2σ 2 2πσ où µ ∈ IR et σ > 0. Tous les moments de la loi sont nis +∞ xp f (x)dx < +∞, −∞ pour tout p ∈ IN. En particulier, l'espérance vaut p et la variance σ 2 . 3 4.2 Loi de Poisson P(θ) La loi de Poisson est une loi discrète dénie sur IN par : θk IP(X = k) = exp(−θ) k! où θ > 0. Tous les moments de la loi sont nis: ∞ k p P (X = k) < ∞. k=0 En particulier l'espérance et la variance valent θ. 4.3 Stabilité de ces lois

mettre de l'argent de côté {v}to lay money aside {v} taux de change de référence {m}shadow exchange rate {subst.} couche de liaison de données {f} [inform.]data link layer {subst.} [inform.] programme de traitement de jour {m} [méd.]day care program {subst.} [méd.] du point de vue de la structure {adv.}structurally {adv.} voies de garage et de triage {f pl.}shunting yard {subst.} protocole de transfert de fichier {m} [inform.]file transfer protocol {subst.} [inform.] huile de foie de morue

t; N(t) = nombre d’vnements se produisant entre les instants 0 et t; Xi = temps entre le (i - 1)-me et le i-me vnements; Sn = X1 + X2 + ... + Xn = instant auquel le n-me vnement se produit. LE PROCESSUS DE POISSON Premire caractrisation Un processus de Poisson est un processus cumulatif qui satisfait les proprits suivantes: – Stationnarit: N(s, t) a la mme distribution que N(t, s). – Accroissements indpendants: si [s, t[ et [s’, t’[ ne se recoupent pas, N(s, t) et N(s’

µ)ert o` r est la racine double de l’´quation caract´ristique u e e rt 0, f (t) = [λcos( βt) + µsin( βt)] e o` r1 = α + iβ et r2 α − iβ sont les u complexes conjugu´es de l’´quation caract´ristique e e e 3. PROBABILITES a. Loi binomiale b. Loi de Poisson P(X=k)= k\ λ n! Cn pk qn−k o` Cn = k ! (n-k) ! u k k E(X)= np ; σ(X)= √ npq e−λ λk k! E(X)= λ 0,4 0, 6703 0, 2681 0, 0536 0, 0072 0, 0007 0, 0001 0, 0000 V(X)= λ 0,6 0, 5488 0, 3293 0, 0988 0, 0198 0, 0030 0, 0004 0, 0000

Date de première utilisation ("-" signifie "Avant Jésus Christ") 1972 Propriétés mécaniques Module de Young 1e7 - 4e7 Pa Module de cisaillement 8e6 - 1e7 Pa Module de compressibilité * 1.3e9 - 1.4e9 Pa Coefficient de Poisson * 0.47 - 0.49 Limite élastique 1.2e7 - 1.8e7 Pa Résistance en traction 1.6e7 - 2e7 Pa Résistance à la compression 1.32e7 - 1.98e7 Pa Allongement 7.3 - 7.7 strain Limite de fatigue * 1.2e7 - 1.28e7 Pa Ténacité

caractériser un domaine conventionnel de réversibilité ; • la résistance maximale à la traction Rm ou σm ; • l'allongement à la rupture A, qui mesure la capacité d'un matériau à s'allonger sous charge avant sa rupture • le coefficient de Poisson, qui chiffre la variation de volume induite par la déformation des matériaux dans le domaine élastique. II) Propriétés mécaniques des matériaux : Contrainte (en Pa) : Déformation : 1 Courbe contrainte allongement L’allure

q k 1 +∞ (mq)n k! n=k (n − k)! = e−m p q k +∞ 1 (mq)n−k (mq)k k! (n − k)! n=k = e−m p q k +∞ (mq)n 1 (mq)k k! (n)! n=0 p k 1 (mq)k emq q k! (mp)k = e−mp . k! = e−m Z suit donc une loi de Poisson de paramètre m × 0, 25. 3. U est le rang de la première réalisation de l’événément R de probabilité 1/4 au cours d’une succession d’appels indépendants. Y suit donc la loi géométrique G(1/4), c’est-à-dire que, pour k ≥ 1, 1 3 k−1 P (U = k) =

Bernoulli. le produit de n VAR de Bernoulli. la somme de quatre lois uniformes. 14. Soit X une VAR de loi géométrique de paramètre p. Alors IP[X (k − 1)qp. q k−1 p. pk−1 q. p(1 + q + · · · + q k−1 ). 15. Soit X une VAR de loi de Poisson de paramètre λ. Alors IE(X) = λ2 . IE(X) = λ. IE(X) = k] est donnée par 1 . λ2 IE(X) = 1 . λ Fin du QCM Nombre de bonnes réponses: Voir les bonnes réponses Question 1 : Voir page 3, point 3 de la conséquence 1. Question

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5 Lois discr`tes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5.1 La Loi G´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5.2 La Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Variables al´atoires continues . . . . . . . . . . . . . . e 2.6.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2.6.2 Lois usuelles continues . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Fonctions g´n´ratrices

s’appliquer. 4 1.5. Lois de Poisson Lois de probabilit´ usuelles e e e D´finition 5. — Soit λ È Ê  . On appelle loi de Poisson de param`tre λ la loi de probabilit´ e discr`te µ de support Æ v´rifiant e e µØnÙ Soit µ 0,5 e¡λ 0 λn n! pour n È Æ, sinon. ô n 0 e¡λ λ δØnÙ . Cette mesure est identifi´e par la notation P ÔλÕ. e n! 0,5 λ=1 0,5 λ=4 n λ = 0,75 0,25 0,25 0,25 0 0 2 4 6 8 ... 0 0 2 4 6 8 ... 0 0 2 4 6 8 ... Le calcul des moments d’une loi de Poisson de param`tre λ se fait