Polynôme d'endomorphisme

3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fonction du courant x. Les r´sultats e e suivants sont obtenus: (1) Quel est le degr´ du polynome d’interpolation? e (2) Compl´tez le tableau des diff´rences divis´es e e e ci-contre et donnez le polynome p(x) sous la forme de Newton. Ecrivez le polynome sous la forme de Horner et calculez p(2.17). i x (Amp.) y (Volts) 0 0.25 1 2 0.75 1.25 0.7 −0.45 −0.6 x y (3) Ecrivez le polynome d’interpolation sous forme standard. Exercice 7 (25pts) Integration num´rique. e Le tableau

une bille de rayon x avec une hauteur 2x d'eau V(x)=piR².2x - 4/3.pi.x³ V(x)-V0= piR².2x - 4/3.pi.x³ -piR²h+1/6pih³ =4/3pi(3/2R²x -x³-3/4R²h+3/24h³) avec R=8 et h=10 =4/3pi(96x - x³ - 355) Tu sais que V(5)=V0 donc f(5)=0. Comme f est un polynome, tu peux mettre (x-5) en facteur (x-5)(ax²+bx+c)=ax³ +(b-5a)x² + (c-5b)x -5c Il faut que ça soit égal à 96x - x³ - 355, donc égaliser les coeeficients un à un . a=-1 b=-5 c=71 --> f(x) = 4/3 pi (x-5)(-x² -5x + 71) f(x)=0 si l'un des deux

Cette partie on va la revoir dans l’intersection des 3 Plans. 2 Chapitre 2 : Diagonalisation de A. Dans ce chapitre on aura 5 points importants: 1. Polynôme Caractéristique. 2. Sp(A) ou les valeurs propres de A. 3. Sous Espaces Vectoriels Propres de A ou les vecteurs propres. 4. A est diagonalisable ?!! Diagonalisé A. 5. Applications. 2 2.1 Polynome Caractéristique PA (X): PA (X) = det(A 1 1 1 2 1er exemple A = @ 1 2 1 A : 2 1 1 1 X 1 PA (X) = det(A XI) = 2 XI) 0 1 2 1 L1 L2 L3 2 1 X 1

Polynômes factoriels On note ℝ [X ] la ℝ algèbre des polynômes réels en l’indéterminée X . Pour n ∈ ℕ , ℝ n [X ] désigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆

fonction cumulative de Hilbert de M = n≥0 Mn est défini par la fonction numérique n → H ∗ (M, n) = 0≤i≤n H(M, i) 2.1.2 Définition Soit d ≥ −1 un entier. Une fonction numérique ϕ : Z → Z est dite de type polynomial de dégré d s’il existe un polynôme P ∈ Q[X] de dégré d tel 7 que : ϕ(n) = P (n) ∀n 0. Par convention le polyôme nul est de dégré −1. 2.1.3 Théorème de Hilbert Soit A = n≥0 An un anneau noéthérien gradué à dégrés positifs de la forme A = A0 [x1 , x2 , ..., xr ] où chaque

génératrices des codes C6,3 et C7,4 ayant le même générateur g(x). 18. : Code polynomial Soit C5,3 le code polynomial engendré par le polynôme g(x) = x2+1. a. Construire le code par codage systématique 19. : Code polynomial Soit C5,3 le code polynomial engendré par le polynôme g(x) = x2. a. Construire le code par codage systématique. b. Tout polynôme de code s'écrivant : [pic] montrer que les erreurs de poids 1 situées sur les bits c4 et c5 sont détectées et que les autres erreurs de poids

2.2 Polynôme d’un endomorphisme Définition 10 n Soit P ∈ K[X], tel que P = ak X k et u un endomorphisme de E. On note P(u) k=0 l’endomorphisme défini par n ak u k . P(u) = k=0 8 Réduction des endomorphismes Proposition 7 Soient P, Q ∈ K[X], l, m ∈ K et u ∈ L(E), on a les égalités (lP + mQ)(u) = lP(u) + mQ(u) (PQ)(u) = P(u) ◦ Q(u). Preuve ❑ C’est une conséquence de la structure d’algèbre de L(E). Définition 11 On dit qu’un polynôme P est un polynôme annulateur

identit´ e e se notera In . Pour toute matrice A de Mn (C), tA d´ signe la matrice transpos´ e de A, Sp(A) repr´ sente le e e e ` spectre de A (c’est a dire l’ensemble de ses valeurs propres), Tr (A) d´ signera sa trace et rg (A) son e ˆ rang. Le polynome caract´ ristique de A se notera χA , il est d´ fini par e e ∀ λ ∈ C, ´ Epreuve de Math´ matiques II e χA (λ) = det(A − λ In ) . 1/3 Tournez la page S.V.P. Concours National Commun – Session 2006 – PSI Pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1

fonction hl telle que AhI = h et simplifier l’expression de 5 8. k=n 1.5. Montrer que : k$nf(k)(Ag)(k) 2 kc” . k=n = (fd(P+ 1) - (fg)(n) - kcng(k + l)(Af)(k). 1.6. En déduire T.S.V.P. 2. Polynômes factoriels. Pour tout entier naturel n, on note E, l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré = 1 et pour tout k, entier naturel non nul, on note inférieur ou égal à 72. On pose F&) F~@E) =+-l).+~k+l). 2.1. Soit n E N. Montrer que (Fo, . . . , F,) est une base de E,. que