Polynôme minimal

; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A − xI2 ). Ici pA (x) = det A = 1 2 x 0 − 2 1 0 x = det 1−x 2 2 1−x = (1 − x)2 − 2 · 2 = x2 − 2x − 3. 2. Valeurs propres de A : ce sont les racines de pA (x) : ici √ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ± 1 + 3, donc

´ Paris-Diderot Universite `bre et Analyse Ele ´mentaires Alge Semestre 1 Fonctions usuelles Section C 2014-2015 1 Quelques caract´ eristiques d’une fonction D´ efinition 0.1. Une fonction d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles est une application f : A → R o` u A est une partie de R. Domaine de d´ efinition Il arrive que l’on donne une fonction par une expression alg´ebrique explicite, sans pr´eciser l’espace de d´epart de l’application. Dans ce cas on appelle domaine de d´efinition de

hilbertiennes et polynômes orthogonaux Soutenu par :  Lahbiri Fatima Zahra  EL omari Ibrahim  Abrache Idris  Izem Younes Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes de Jacobi

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITION On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c (a,b et c réels avec a = 0). Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 + bx + c est aussi appelée trinôme du second degré. DÉFINITION On appelle racine du trinôme f , tout réel qui annule f . Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c, revient

que l’ensemble des fonctions P périodiques de B est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables. I.G - Soit N P = {x : x ( t ) = k=1 ∑ ck e iω k t N ∈ IN, c k ∈ C, ω k ∈ IR distincts } I l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques). Montrer que P est stable par produit de fonctions, et que l’application ( x, y ) a définit un produit scalaire sur P . En particulier

SESSION 2001 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´ ` EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ´ MATHEMATIQUES 2 ´ Duree : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanum´riques sont autoris´es, sous r´serve des conditions e e e d´finies dans la circulaire n◦ 99-186 du 16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈

g sur [0 ; +∞[ ? 3/ a) On suppose que a < b  0. Que peut-on dire de a – b ? de a + b ? de g(a) – g(b) ? b) Quel est le sens de variation de g sur ]–∞ ; 0] ? 4/ Dresser le tableau de variation de la fonction g. Exercice 4 : Étude d’une fonction polynôme du second degré Soit h la fonction définie sur IR par h(x) = –x2 + 4x – 6. 1/ On considère deux nombres réels a et b. Démontrer que h(a) – h(b) = (b – a)(b + a – 4). 2/ On suppose que a < b  2. Déterminer le signe de h(a) – h(b). En déduire le sens

Chapitre 1 Chapitre 1. Le second degré Activités et applications Application 1 a) – 3x2 + 5x – 2. 1. Équation du second degré ; discriminant Δ = 52 – 4 × (– 3) × (– 2) = 1 > 0. x1 = Activité 1. a) et b) D’après le graphique, le 1er projectile tombe à – 5 – 11 – 5 + 11 2 = 1 ; x2 = = . –6 –6 3 – 3x2 + 5x – 2 + 0 – Δ = 32 – 4 × 2 × (– 1) = 17 > 0. x1 = – 3 – 417 – 3 + 417 ; x2 = . 4 4 x a) x2 – 5x + 4 = 0. 2x2 + 3x – 1 Δ = (– 5)2 – 4 ×

de la fonction de transfert en boucle fermée F(z); c’est-à-dire les racines de l’équation caractéristique 1 + G(z) = 0. Cette équation n’est généralement facile à résoudre que dans le cas où le degré du polynôme 1 + G(z) est inférieur ou égal à deux. Cette résolution se complique lorsque ce polynôme dépend d’un paramètre (ou plusieurs). En effet, dans ce cas il est difficile, voire impossible, de calculer les racines afin de conclure sur la stabilité. D’où la nécessité de disposer des outils (critères)

La fonction quadratique La fonction quadratique est une fonction f définie par une relation de la forme f (x) = ax ² où le paramètre a ≠ 0. Le graphique de celle fonction en forme de parabole peut être représenté dans un plan cartésien.La fonction quadratique est en réalité une fonction polynomiale du second degré définie par une règle dont tous les coefficients des termes de degré inférieur à 2 sont nuls. L'équation de base est la suivantey=ax2  ou    y=a(bx)2Cette fiche traite de la fonction