Polynôme minimal

Fonctions polynômes du 2nd degré Définition : Une fonction f définie sur R est une fonction polynome du 2nd degré s’il existe des réels a, b et c (a≠0) tel que pour tout réel x∈R f(x)=ax^2+bx+c "(Forme développée)" Exemple : Soit x∈R f(x)=5x^2+3x+6  Polynôme du 2nd degré g(x)=x+1  1er degré h(x)=5x^3+3x+6  3ème degré f(x)=ax^2+bx+c f(x)=a[x^2+b/a x]+c x^2+b/a x+b²/4a²=(x+b/2a)² f(x)=[(x+b/2a)^2-b^2/(4a^2 )]+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c f(x)=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+(c "x

Chapitre 2 : Int´egration num´erique I. Motivation : calcul approch´e d’int´egrales Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Exemple : f(x) = cos(x) p x2 + 1 Que vaut I = Z 2 0 f(x)dx ? 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 M´ethodes des rectangles Approximation par une fonction constante par morceaux 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5

− 2) 2 et, en développant, le polynôme caractéristique s’écrit : χ A (λ) = λ 4 – 2 λ3 – 3 λ 2 + 4λ + 4 . or il est classique que χ A (λ) = λ 4 – tr(A) λ3 + … + dét A ; on retrouve donc bien tr(A) = 2 et dét A = 4. d) D’après le théorème de Cayley-Hamilton, χ A (A) = θ et donc (A + I)2 (A − 2I) 2 = θ, ou encore [(A + I)(A − 2I)]2 = θ ; on vérifie aisément que (A – I)(A + 2I) = A 2 – A – 2I = θ, de sorte que χ A et P défini par P(A) = A 2 – A – 2I sont des polynômes annulateurs de A. e) χ A (A)

que l’équation 2x² - 3x + k = 0 ait deux solutions distinctes. Déterminer les réels k pour que l’équation 3x² + kx + 6,75 = 0 n’ait pas de solution réelle. Existe-t-il une (ou des) valeur(s) du paramètre m telle(s) que le polynôme f(x)= (m²-4) x²+ (m²+m-2) x+m+2 soit le polynôme nul ? On considère l’équation suivante : (m – 1) x² - 4mx + 4m – 1 = 0 a) b) c) Pour quelle valeur de m cette équation est elle du second degré ? On suppose que m est différent de 1. Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle

ANALYSE TEMPORELLE DES PRINCIPAUX PROCESSUS 1 Signaux d’entrée Impulsion : Échelon : Rampe : xI = δ xE = u xR (t) = t u(t) ⇔ ⇔ ⇔ XI = 1 XE = 1/s XR = 1/s2 A. 1er ordre à constante de temps FONCTION DE TRANSFERT : H= K 1+ T s 1 s+ 1 T REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I = K K = × 1+ T s T La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI : y I (t ) = yI(t) K −T e u (t ) T t y I (0 ) = K T K T y I′(0 ) = − y I (∞ ) = 0 y I′(∞ ) = 0 Asymptote

MAT1702A M´thodes Math´matiques II e e Hiver 2012 Yasmine Samia Universit´ d’Ottawa e Vendredi, 30 Mars 2012 Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 1 / 25 Annonces Devoir 4: Affich´ sur le site web. e Dˆ le 7 Avril (5:00 am). u ...en format .pdf seulement!! Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 2 / 25 Rappel: Comment trouver les valeurs propres, les vecteurs et espaces propres?

augmente avec n. Pour un n plus grand, la machine doit faire plus de calculs et commet donc plus d’erreurs d’arrondis. Pour observer les erreurs de discrétisation prévues par la formule (15) il faut prendre une fonction non polynômiale ou au moins un polynôme de dérivée quatrième non nulle. 3 Partie III : Problème instationnaire (3) 3.1 Fonctionnement du programme Partie3.m Partie3.m fonctionne d’une façon très similaire à Partie2.m. Il y a d’abord un calcul de la solution initiale w0 , mais ceci

termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A est supérieure, inférieure sinon). Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses termes diagonaux, par invariance de similitude du polynôme caractéristique. Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux. Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très

de l’information donnée par une représentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 En particulier, faire remarquer que la fonction carré n’est pas linéaire. Fonctions polynômes de degré ƒ Connaître les variations des fonctions polynômes de Les résultats concernant les variations des fonctions 2. degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la symétrie de leurs courbes. propriété de symétrie de leurs courbes

composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans ! . On désigne par E n l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f ∞ = sup f(x) . x ∈[−1 ,1 ] Les