Polynôme symétrique

Ex. 20 — Vérifier que si a est une forme bilinéaire symétrique et coercive sur un espace d’Hilbert H alors a définie un produit scalaire sur H × H. Ex. 21 — Soit V un espace d’Hilbert et Vh un sous espace de V . a une forme bilinéaire et L une forme linéaire et u et uh vérifient : a(u, v) = L(v) a(uh , v) = L(v) ∀v ∈ V et ∀v ∈ Vh Vérifier que : a(u − uh , u − uh ) = a(u − uh , u − v) ∀v ∈ Vh Ex. 22 — Soit a une forme bilinéaire symetrique sur H × H et L une forme linéaire sur H. On note par

discriminant du polynôme P (x) = ax 2 + bx + c le nombre ∆ = b 2 − 4ac. 1) Racines Déterminer les racines d’un polynôme P (x) = ax 2 + bx + c revient à résoudre l’équation P (x) = 0 soit ax 2 + bx + c = 0. – si ∆ < 0, l’équation n’a pas de solution dans R ; b – si ∆ = 0, l’équation admet une unique solution α = − dite racine double ; 2a −b − ∆ −b + ∆ – si ∆ > 0, l’équation admet deux solutions distinctes : x 1 = et x 2 = . 2a 2a 2) Forme factorisée – si ∆ < 0, le polynôme n’a pas de racines

Généralités sur les polynômes- Equations et Inéquations du 2nd degré I- Généralités sur les polynômes Une fonction polynôme est une fonction numérique qui peut s’écrire sous la forme f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ……… + a1x + a0 Où a0, a1, a2, ……… an sont des nombres réels donnés appelés coefficients. x est la variable. Si an ≠ 0 le polynôme est de degré n Exemple: f(x) = (x+1)2 + (x-1)2 + x4 f(x) = x4 + 2x2 + 2 C’est un polynôme du 4ème degré. Le coefficient de

I - Second degré Résolution d'équation du second degré Signe de ax²+bx+c Factorisation d'un polynôme du second degré Calculatrice et second degré I 5 6 7 7 A. Résolution d'équation du second degré 1. Résolution de l'équation ax²+bx+c=0 Définition Pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0 on calcule  b −4 a c 2 Si 2 b −4 a c est positif on a alors deux solutions possibles : 2 2 - b−  b −4 a c ou - b b −4 a c x 1= x 2= 2a 2a   Si Si 2 b −4 a c est égal à 0 on a

{ j ,− j ,  ,− } . z 3=1 ⇔ z =1 , j où j 2 =1 a 4 solutions dans ℂ : 1 , i , -1 ,-i −1i  3 ( on rappelle qu'on pose j= et qu'on a z 4 Q z = z− j z j z−  z  j j En regroupant les racines conjuguées on obtiendra des polynômes du second degré à coefficients réels . Q z = z − j z −  z  j z  n= z 2z 1 z 2−z 1 j j Ex 2 Montrer que l'équation : P  z= z 31−i  z 24−i  z− 4i=0 a une solution imaginaire pure ib avec b ∈ℝ . En déduire une factorisation

PARTICULIERE de L'EQUATION COMPLETE (I) 4.1.. Formes classiques du second membre. • ϕ( x ) = Pn ( x ) avec Pn polynôme de degré n 2 © dpic – inpl – mai 1999 Equations différentielles linéaires du 2ème ordre. U.M.N. 13. c≠0 ySP ( II ) = Qn ( x ) c = 0 et b ≠ 0 ySP ( II ) = xQn ( x ) c=b=0 ySP ( II ) = x 2Qn ( x ) Cours. avec Qn polynôme de degré n • ϕ( x ) = e mx Pn ( x ) avec Pn polynôme de degré n et m ∈ R∗ ou bien, on effectue le changement de fonction inconnue y = e mx z avec z fonction

x < b II] Polynôme du premier degré A] Equation du premier degré L’équation : ax + b = 0 admet comme solution unique si a ≠ 0 S = {- } a b B] Signe d’un polynôme du premier degré Soit le polynôme P(x) = ax + b, pour étudier son signe, il suffit de chercher la valeur qui l’annule et de dresser le tableau de signes : x P(x) -∞ Signe de –a b a +∞ Signe de a 0 Dès que vous avez une inéquation à résoudre, il faut obligatoirement faire une étude de signes. III] Polynôme du second degré

Excel activité 1 – Résolution d’un équation du second degré. Consignes. * Objectifs : Composer une feuille de calcule qui permette de calculer les solutions d’une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0. 1. Résoudre l’équation en tenant compte de la valeur du déterminant : ∆ = b²-4*a*c Si ∆0, il faut afficher deux racines calculées à l’aide de la formule : x₁ et x₂ =-b±b2-4ac2a Si ∆=0, il faut afficher la racine double calculée à l’aide de la formule : x=-b2a 2. Etablir

Polynômes et équations du second degré Savoir-faire : Mettre un polynôme du second degré sous forme canonique Déterminer les racines d'un polynôme du second degré Etudier le signe d'un polynôme du second degré Utiliser la forme la plus adaptée (développée, canonique, factorisée) d'un polynôme du second degré en vue de résoudre un problème 1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c

Première S1 Année 2014-2015 Devoir sur table n◦ 1 : Corrigé Durée : 2 heures Les calculatrices ne sont pas autorisées Question de cours 1. Déterminer la (ou les) fonctions trinômes du second degré f vérifiant les conditions suivantes : ses racines sont − 1 et 2 et on a f (1) = 4. On sait qu’un tel trinôme s’écrit sous forme factorisée f (x = a(x + 1)(x − 2). De f (1) = 4, il résulte que f (1) = a × (−1) donc −2a = 4 soit a = −2. En développant l’expression ainsi obtenue, il résulte : f (x) = −2x2