Principe De Raisonnement Par Récurrence

68 LEÇON Différents types de raisonnement en mathématiques Niveau : Lycée Prérequis : vocabulaire de la logique : assertion, implication, équivalence, quantificateurs, négation 1 Introduction La place de la logique et du raisonnement est très importante dans les programmes du secondaire. En effet, l’étude des formes diverses de raisonement et la nécessité de distinguer implication et causalité sont essentielles à la formation mathématique. Ainsi, les mathématiques vont permettent

SUITES (Partie 1) I. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). Principe : On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré

SUITES (Partie 1) I. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). Principe : On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré

SUITES (Partie 1) I. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). Principe : On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré

Logique et raisonnement ∗ ∗ ∗ I. Éléments de logique 1. Propositions Définition 1. On appelle proposition tout énoncé mathématique qui est soit vrai soit faux. Remarque 1. 1. Si P est une proposition, on écrit P pour dire « P est vraie ». 2. Si P (x) est une proposition dépendant de x, elle sera vraie ou fausse suivant les valeurs de x : soit E un ensemble, on écrit « ∀ x ∈ E, P (x) » pour dire que « P (x) est vraie pour toute valeur de x dans l’ensemble E ». Exemples 1. 1. La proposition ∀

Complément sur les suites : Récurrence, suites récurrentes du type un +1 = f (un ) … Animations liées sur le site : Représentation graphique des termes d’une suite : cette applet java permet de représenter entre autre, les termes des suites récurrentes de la forme un +1 = f (un ) avec la fonction f de votre choix, ainsi que le terme initial voulu. Très pratique ! http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/suite-un/suite_ts.php Le cours complet illustré : vous retrouverez notamment les

arithmétiques et géométriques, sens de variation, cf cours sur le livre page 24 et A p 100 II. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). 1. Axiome : principe de récurrence Principe du raisonnement par récurrence : Pour prouver qu'une propriété P est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal

Exo7 Logique et raisonnements Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements Quelques motivations – Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons l’exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou dessert » signifie l’un ou l’autre mais pas les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure l’as de cœur. Autre exemple

RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE Exemple 1 On considère la proposition P(n) dépendant d'un entier n : « 10n - (-1)n est un multiple de 11 » (On rappelle qu'un nombre est multiple de 11 lorsqu'il s'écrit sous la forme 11 x k avec k ∈ ZZ ) Vérifions que cette proposition est vraie pour les entiers n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Pour n = 0 : 10n - (-1)n = 100 - (-1)0 = 1 - 1 = 0 = 11 x 0 Pour n = 1 : 10n - (-1)n = 101 - (-1)1 = 10 - (-1) = 10 + 1 = 11 = 11 x 1 Pour n = 2 : 10n - (-1)n = 102 - (-1)2 = 100 - 1 = 99

SUITES NUMERIQUES I. Le raisonnement par récurrence 1. Pourquoi un tel raisonnement ? Soitla propriété «est un multiple de» Comme, alorsest vraie. De même, doncest vraie et, doncest vraie. Maisest-elle vraie pour tout entier naturel? Pour le vérifier, il faudrait procéder à une infinité de vérifications, ce qui est impossible. Le raisonnement par récurrence permet de conclure en deux étapes. L'idée du raisonnement par récurrence peut être imagée ainsi : Si l'on peut se placer sur le barreau