Produit cartésien

(λx1 , λy1 ) avec λ∈ . K D'une manière analogue, K si E1, ...,En le sont. E1 × ... × En est un espace vectoriel sur Exemples d’Espaces Vectoriels et  Notations Exemple 1 : Le R‐espace vectoriel R2 Définition de l'ensemble Le produit cartésien Rx R est noté R2. C'est l'ensemble des couples (x, y)  avec x élément de R et y élément de R. Ceci s'écrit :  Remarque : l'écriture (x, y) traduit un ordre sur les éléments x et y ; x est la  première composante du couple (x, y), y est la seconde

l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A. On le note E \ A, ou, s’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble E de référence, A (lire « A barre »). Produit cartésien de deux ensembles. Le produit cartésien A × B est l’ensembles des couples (a ; b) avec a ∈ A et b ∈ B : A × B = {(a ; b) | a ∈ A et b ∈ B} On définit de même les produits cartésiens A × B × C,. . . , et An : An = {(a1 ; · · · ; an ) | a1 ∈ A ; · · · ; an ∈ A} An est l’ensemble des suites à n éléments de A, ou ensemble des n-listes

Espaces vectoriels 1 Exercice 6 [ 01685 ] [correction] Les parties de F(R, R) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ? Structure d’espace vectoriel Exercice 1 [ 01680 ] [correction] Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle : (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) et de la multiplication externe par les complexes définie par : (a + i.b).(x, y) = (a.x − b.y, a.y + b.x). Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel. Celui-ci est appelé

Preuve de (A ∩ B) = A ∪ B : x ∈ (A ∩ B) ⇐⇒ x ∉ (A ∩ B) ⇐⇒ non x ∈ A ∩ B ⇐⇒ non x ∈ A et x ∈ B ⇐⇒ non(x ∈ A) ou non(x ∈ B) ⇐⇒ x ∉ A ou x ∉ B ⇐⇒ x ∈ A ∪ B. Remarquez que l’on repasse aux éléments pour les preuves. 1.4. Produit cartésien Soient E et F deux ensembles. Le produit cartésien, noté E × F, est l’ensemble des couples (x, y) où x ∈ E et y ∈ F. Exemple 1 1. Vous connaissez R2 = R × R = (x, y) | x, y ∈ R . 2. Autre exemple [0, 1] × R = (x, y) | 0 x 1, y ∈ R y x 0 3. [0, 1] × [0, 1] × [0

l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A. On le note E \ A, ou, s’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble E de référence, A (lire « A barre »). Produit cartésien de deux ensembles. Le produit cartésien A × B est l’ensembles des couples (a ; b) avec a ∈ A et b ∈ B : A × B = {(a ; b) | a ∈ A et b ∈ B} On définit de même les produits cartésiens A × B × C,. . . , et An : An = {(a1 ; · · · ; an ) | a1 ∈ A ; · · · ; an ∈ A} An est l’ensemble des suites à n éléments de A, ou ensemble des n-listes

découle immédiatement du résultat du premier exercice. B.2 Graphes orientés 1. Définition Un graphe orienté est formé de deux ensembles : un ensemble ܽ ܾ dont les éléments sont appelés sommets, et un ensemble ½ ¾ Ñ , partie du produit cartésien ¢ , dont les éléments sont appelés arcs. On notera ´ µ. Si ´Ü Ý µ est un arc du graphe , Ü est l’extrémité initiale de et Ý l’extrémité finale de . 5 Ü Ò Remarque À tout graphe orienté ¾ ¸ ´´Ü ݵ ¾ ÜÝ ´ ou ´Ý

PCSI1-PCSI2 DNS n 04 - Cahier vacances ˚ 2011-2012 Ce qui suit fera office de cours sur les notions d’injection/surjection/bijection. Les exercices obligatoires, à traiter en priorité sont les suivants : , , , et et , , , et , , . Les autres exercices n’en sont pas moins intéressants pour autant, et doivent mériter votre attention. 1 Définitions de injection-surjection-bijection On considère une application , où est l’ensemble de départ (ensemble de définition , par . existe (de manière

Principes d'assemblages de plusieurs éléments : Particularités : Composer, c’est organiser ensemble plusieurs éléments sur une surface. Une composition fera ressortir des points forts, des lignes de force et des masses. Une composition crée un équilibre visuel statique ou dynamique entre les différents composants de l’image. Certains grands principes de compositions sont classiquement utilisés par les peintres, illustrateurs ou photographes : Composition centrée : Un point fort, ou

finitive e e e e 3.3 Les mesures avec densit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Les fonctions int´ grables au sens de Riemann . . . . . . e Produits de mesures 4.1 Quelques r´ sultats d’unicit´ . . . . . . e e 4.2 Produit d’espaces mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et

AF niveau 2 – FERME PORTE | | Présentation du produit Le produit présenté ici, vu en TD, est un ferme-porte mécanique standard. Fixé sur le haut d’une porte, il permet à celle-ci de se refermer « automatiquement » après le passage d’une personne. Le système fonctionne en toute autonomie et présente l’avantage d’amortir le mouvement de la porte lors de la fermeture. Le mécanisme est composé de plusieurs parties : - Un ensemble de « commande » fixé au mur, au dessus d’une porte, par