Produit cartésien

symétrique. Si et alors et , en additionnant ces deux égalités on trouve . est transitive. Finalement est une relation d’équivalence. 2. Soit ̇ si c’est-à-dire si autrement dit si est solution de l’équation du second degré , évidemment est solution, le produit des solutions est ( ) donc l’autre solution est . Donc ̇ { } sauf si ̇ { }. alors 3. L’ensemble quotient est l’ensemble des classes d’équivalence : {{ On est obligé de considérer écrirait deux fois chaque classe. Allez à : Exercice 14 : (ou ) car

 Dénombrement Définition : dénombrer, c'est compter les éléments d'un ensemble fini. Plusieurs méthodes permettent de dénombrer un ensemble, le principe c'est d'organiser efficacement les données pour éviter d'oublier des éléments de l'ensemble. Méthodes de dénombrement : Arbre Dénombrement d'un ensemble avec un arbre Pour comprendre on va prendre un énoncé type : Enoncé : Une urne contient 7 boules numérotées de 1 à 7 on tire au hasard et successivement 3 boules de cette urne le tirage

base orthonormale directe de E . On − − − − − toute base orthonormale directe ( u v u v n →. − dit que le plan P est orienté par n 114 z zM M k i j yM y xM x F IGURE 3.2 – Coordonnées cartésiennes 3.2 Mode de repérage dans l’espace 3.2.1 Coordonnées cartésiennes Définitions D ÉFINITION 3.9 ♥ Repère de l’espace − − − − − − On dit que le quadruplet R O, →, →, → ∈ E × V 3 est un repère de l’espace E si et seulement si →, →, → est une base u v w u v w de V . O est appelé

x0 x1 x2 ⇒ Si la droite passe par l’origine son équation est : y = a.x (b = 0). Il suffit de prendre l’origine pour M1 et alors a = y2/x2. Addition de fractions a + b = a + b a c a b + c d numérateur dénominateur Règle de trois ou produit en croix ou proportionalité La règle de 3 peut s’utiliser lorsqu’il y a proportionnalité entre deux grandeurs. Exemple : la force de rappel F d’un ressort est proportionnel à l’allongement x. (e n m a t h : y = a.x) F=k.x Lorsque la force F 12 N

de (E) sur [0 ; π]. EXERCICE 4. 4 points Questions de cours. → u est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r et α 1. Donner les relations liant a, b, r et α . → → 2. v est le vecteur directement orthogonal à u . → a. Donner la définition de v . b. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r et α. c. En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. EXERCICE bonus. Lieu de points. Dans un repère orthonormé positif : 1 ; α) pour

v ). Les coordonnées de v vont alors vérifier : c = ka et d = kb. On vérifie alors facilement que ad = akb = bc . ) Réciproquement, si l’on a ad = bc , cela signifie que les coordonnées (a ; b et (c ; d sont proportionnelles (égalité des produit en croix). Il existe donc un réel k tel que : c = ka et d = kb. ) ) Ce qui nous montre alors que l’on a v = k .u et donc que u (a ; b et v (c ; d sont colinéaires. Remarque ) Même si le vecteur nul n’a pas de direction, on considère

Exercice 4.10 Soient les trois droites suivantes :        d1: x = −2  5 y 3 −1     d2: x = 3  −3 y 0 2 d3: x = 9  −6 y −4 4 Déterminez les intersections d1∩d2, d1∩d3 et d2∩d3. Équation cartésienne d'une droite On obtient l'équation cartésienne en partant des équations paramétriques. Il suffit en fait d'éliminer le paramètre λ en combinant les deux équations du système paramétrique. On obtiendra alors une seule équation où n'apparaîtront plus que x et y. Partons

------------------------------------------------- EXERCICE 4. 4 points Questions de cours. est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r et 1. Donner les relations liant a, b, r et  . 2. est le vecteur directement orthogonal à . a. Donner la définition de . b. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r et . c. En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. ------------------------------------------------- EXERCICE bonus. Lieu de points

pouvoir accomplir son devoir. Le problème qui se pose pour la conscience morale, c’est celui de son origine. Pour certains comme Rousseau, elle serait innée. Rousseau la qualifie de « véritable instinct divin ». Pour d’autres, la conscience est le produit de l’éducation familiale, ce qui permet de rendre compte de la diversité culturelle d’une morale. C’est en particulier la thèse de Freud : la conscience morale est désignée par le terme du « surmoi » s’inquiert par l’intériorisation des interdits

droite est bien tracée Équation, inéquation. Solution et ensemble-solution de l’inéquation. Demi-plans. Droite frontière 3.Comment bien choisir la graduation de notre plan cartésien pour bien représenter toutes nos droites 4.Comment travailler avec une droite comportant des nombres d’ordre de grandeur différent dans un plan cartésien. 5. Les droites horizontales ou verticales Système d’inéquations Problème d’optimisation : la méthode d’optimisation Introduction aux fonctions Fonction - relation