Produit cartésien

mathématique de relation. Définitions. Soient A1, A2, A3, ..., An n ensembles quelconques. On appelle produit cartésien de A1, A2, A3, ..., An l’ensemble A1 x A2 x A3 x ... x An défini par : A1 x A2 x A3 x ... x An = {(x1, x2, x3, ... , xn)| x1  A1, x1  A1, x1  A1, ..., x1  A1} On appelle relation sur les ensembles A1, A2, A3, ..., An un sous - ensemble de leur produit cartésien. A1, A2, A3, ..., An s’appellent domaines. A chaque relation et à chaque domaine d’une relation correspond

relations  Soient A l’ensemble des chaînes de caractères B l’ensemble des entiers entre 1 et 40 C = {S, ES, L, …}  Un étudiant est alors un élément du produit cartésien A×A ×B ×C = {(a1,a2,b,c) | a1 A, a2 A, b B, c  C} Un élément du produit cartésien est appelé tuple.  Définition On appelle relation un sous-ensemble du produit cartésien. 12 Représentation d’une relation sous forme de table Nom Besson Pensa Rousselot Ray Prénom Jérémy Ruggero Sophie Henri Groupe 1 1 2 2 Bac S S L

construites en considérant l’ensemble des valeurs des attributs de D, ensemble enrichi de la valeur symbolique ALL. L’espace multidimensionnel de r est noté et défini comme suit : Space(r) = (×A ∈ D (Dim(A) ∪ ALL)) ∪ {(∅, . . . , ∅)} où × symbolise le Produit cartésien et (∅, . . . , ∅) la combinaison de valeurs vides. Toute combinaison de Space(r) est un tuple et représente un motif multidimensionnel. L’espace multidimensionnel de r est structuré par la relation de géneralisation/spécialisation entre tuples

de l’un par rapport à l’autre. Définition d’ensembles disjoints. 5. Complémentaire et différence : définition de A − B et AC . C Relations : AC = A, (A ∪ B)C = AC ∩ BC , A ∩ AC = ∅, (A ∩ B)C = AC ∪ BC , ∅C = E, A ∪ AC = E et A − B = A ∩ BC . 6. Produit cartésien : définitions de E × F, E1 × E2 × · · · × En et de E n . IV. Notion de fonction 1. Généralités : définition d’une fonction et vocabulaire associée (ensembles de définition et d’arrivée, graphe, image et antécédent). Définition de l’application

cours à Polytech qui regroupe des données sur les étudiants, sur les enseignants… Etudiants = {Num, Nom, Prenom, Age, Formation} Définition 4 : Tuples Soit R = A1 A2 … An un schéma de relation.    Un tuple sur R est un membre de produit cartésien : DOM(A1) X DOM(A2) X …. X DOM(An) Une relation r sur R est un ensemble fini de tuples Une BD d sur B est un ensemble fini de relation : {r1, r2 …} Num 1 2 3 Nom Codd Amstrong Fagin Prénom Edgar William Ronald Age 20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 A Addition matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 B Produit d’une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 C Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Feuille d’exercices n◦ 3 – Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

éléments avec[pic], l’entier naturel non nul n s’appelle cardinal de E . On note[pic]. On convient de poser[pic]. Propriétés  Soit E et F deux ensembles finis : 1) Si [pic] , [pic] 2) D’une façon générale [pic] . 5/Notion de p-uplet  a)Produit cartésien : Soit E et F deux ensembles finis. On pose par définition [pic] (on lit E croix F) Si [pic] . On note [pic] . Exemple  On lance une pièce de monnaie et un dé cubique, un résultat possible est un couple (a,b) avec [pic] et [pic]. L’ensemble

thDÉNOMBREMENT - COMBINATOIRE - LOIS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES Dans tout ce qui suit, nous noterons n! le produit 1 ´ 2 ´ 3 ´ ... ´ n, ce produit s'appelle "factorielle n". On convient que 0! = 1. Exercices sur les factorielles : · Démontrer que 6! ´ 7! = 10! (sans calculer 10!) (n + 1)! n! · Démontrer que tout entier k : · Simplifier Puis que pour tout entier n non nul : (k + 1)! - k! = k ´ k! n! = 1 + å kk ! k =0 n -1 1. Principes de base du dénombrement On rappelle que le cardinal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 A Addition matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 B Produit d’une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 C Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Feuille d’exercices n◦ 3 – Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ensemble : ? ?? = {? ∈ ? ?? ? ∉ ?}.  La différence de deux ensembles : ?\? = ? ∈ ? ?? ? ∉ ? .  La différence symétrique de deux ensembles : ? △ ? = ?\? ∪ ?\? .  L‟ensemble des parties d‟un ensemble : ? ? = ? ??? ??? ? ⊂ ? , ? ⊂ ?.  Le produit cartésien de deux ensembles : ? × ? = ?, ? ??? ??? ? ∈ ? ?? ? ∈ ? .  Généralisation de l‟intersection et de la réunion d‟une famille de parties d‟un ensemble : Soient ? un ensemble et (? ??? ) une famille de parties de ?, on appelle réunion des ?