Produit scalaire canonique

la suite (Sn). 2. Déterminer un équivalent de (Sn). 3. Montrer que ( Sn − (lnn)2 2 ) converge. Exercice 11. [ENS] ('18) Pour tout n ∈ N, on note d(n) le nombre de diviseurs de n. Pour tout s > 1, on s'intéresse à ∑ d(n) ns . La décomposition en produit de facteurs premiers sera notée n = pα1 1 · · · pαnn . 1. Montrer que d(n) = k∏ i=1 (1 + αi). 2. Soit ε ∈ [0, 1]. Montrer que, si pi > 21/ε, alors 1+αi p αiε i 6 1. 3. Soit f : [0,+∞[→→, R 7→ x1+x 2εx . Déterminer le maximum de f . 4. En déduire

: ?01 (?0 , ? ?0 ), ?01 (?0 , ? ?0 ) et ?01 (?0 , ? ?0 ), définies plus loin dans cette section. On a alors :  ?01 = ?01 (?0 , ? ?0 ) × ?01 (?0 , ? ?0 ) × ?01 (?0 , ? ?0 ) 2. 3 Matrice de transformation homogène La présence conjointe de produits et de sommes dans l'équation vectorielle ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ?01 × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /1est peu commode pour effectuer des calculs systématiques, dus par ?0 ? ?0 ?1 /0 ?1 ? exemple à des changements successifs de repères. On lui préfère une représentation

représentative de P dans un repère est une parabole, image de la parabole d'équation (y = ax²) par la translation de vecteur − i − j 2a 4a P(x) = ax² + bx + c est un trinôme du second degré (a ≠ 0), et ∆ = b² – 4ac est son discriminant. Sa forme canonique est P ( x) = a x + Si ∆ > 0 Si ∆ = 0 Si a > 0 ALLURE DE LA COURBE Si a < 0 J o O Si a > 0 J o O I o O I Si a > 0 alors P est décroissante sur ] − ∞; − b deux racines: FACTORISATION x1 = 2a ] , croissante sur [− b −b − ∆ 2a Signe

plus possible le spectre. La progression dans les contenus disciplinaires est organisée en deux semestres. Pour faciliter la progressivité des acquisitions, au premier semestre les grandeurs physiques introduites sont essentiellement des grandeurs scalaires dépendant du temps et éventuellement d’une variable d’espace ; et on utilise les grandeurs physiques vectorielles au deuxième semestre. Certains items de cette troisième partie, identifiés en caractères gras, se prêtent particulièrement à une approche

de E et F ? D´ efinition 19 (Tribu produit). Soient (E, E) et (F, F) deux espaces mesurables. On appelle tribu produit et l’on note E ⊗ G la tribu engendr´ee par les ensembles produits {A × B; A ∈ E, B ∈ F} : E ⊗ G = σ({A × B; A ∈ E, B ∈ F}). Pour une fonction de Rp+q , on peut alors utiliser la tribu bor´elienne (i.e. engendr´ee par les ouverts de Rp+q ), ou la tribu produit B(Rp ) ⊗ B(Rq ). En fait, ces deux tribus co¨ıncident. Th´ eor` eme 20 (Tribu produit sur Rd ). B(Rp+q ) = B(Rp ) ⊗ B(Rq )

des relations précédentes ; on obtient : c(r, t) = f (v) e−i(E t−p·r)/ dv (1.1.7) Calculons les dérivées de la fonction c(r, t) en dérivant sous le signe d’intégration. La dérivée première par rapport à t est immédiate. D’autre part, le produit scalaire p · r s’écrit : p · r = px x + py y + pz z et les dérivées secondes par rapport aux variables x, y, z se calculent aisément. Additionnons ces différentes dérivées ; on obtient : i 2 ∂c + Dc = ∂ t 2m f (v) E − p2 2m e−i(Et−p·r)/

revanche, pour x = 1 , l’équation n’a pas de sens : elle fait intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Ainsi, 1 n’est pas solution. √ √ Conclusion : 5 est l’unique réel x tel que x(x − 3) = 3x − 5 . Pourquoi l’étape d’analyse a-t-elle produit une « fausse solution » (dite également solution parasite) ? Nous avons élevé deux expressions au carré. Or cette opération n’est pas réversible : s’il est vrai que a = b entraîne a 2 = b2 , la réciproque est fausse en général. En élevant au carré

al´atoires), sur un jeu de donn´es provenant d’une ´tude de nutrition chez la souris. e e e Dans un second temps, les r´sultats obtenus sont mis en relation avec des param`tres e e cliniques mesur´s sur les mˆmes animaux, en utilisant cette fois l’analyse canonique. e e La plupart des m´thodes fournissent des r´sultats biologiquement pertinents sur ces e e donn´es. e De cette exp´rience, nous tirons quelques enseignements ´l´mentaires : il n’y a e ee pas, a priori, de meilleure approche ; il faut trouver la

Énoncé exercice 3 1 . 1+x Calculer, pour tout entier naturel k, la dérivée d’ordre k des fonctions g et h sur leurs ensembles de définitions respectifs. e2x 2. On pose f (x) = . 1+x En utilisant la formule de Leibniz, concernant la dérivée nème d’un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturel n et pour x ∈ R\ {−1}, la valeur de f n (x). 3. Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente. 1. On pose g(x) = e2x et h(x) = Corrigé exercice 3 1

dimension finie o` toutes les normes sont ´quivalentes. Si (An ) est une suite u e d’´l´ments de Mp (K), on n’a as besoin de pr´ciser la norme quand on parle de convergence de (An ). ee e En particulier, si on choisit la “norme infinie relative ` la base canonique”, la convergence ´quivaut ` a e a la convergence coordonn´e par coordonn´e. e e 1 Question pr´liminaire. e z a b A. Soit z = 1 + n ; on a |z |2 = 1 + n + n2 et on distingue plusieurs cas. n = 0 est de module nul mais on ne d´finit pas son argument