Produit scalaire canonique

..  b) B =  a) A =    .   . . . −a   (0) 1 1  (0) 1 2 ··· n  . . . . . . ...     c) C =    ..  . 2  (0) 1 Symétrie matricielle Exercice 34 [ 01263 ] [correction] Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique. 4 c) A quelle condition sur (a, b, c) ∈ R3 , la matrice A = M (a, b, c) est-elle inversible dans M3 (R) ? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l’application f : E →

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 15 16 17 20 B. Suites et s´ries dans les evn e I. Convergence d’une suite 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Cas d’un evn produit et de la dimension finie . . . . . . . . . . . 3) Caract´risation de l’adh´rence et des ferm´s . . . . . . . . . . . . e e e 22 23 24 II. Suites de Cauchy, compl´tude e 1) Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

équivalentes x0 x0 Si f 1 ∼ g1 et f 2 ∼ g2 , alors f 1 f 2 ∼ g1 g2 et x0 x→x0 x→x0 f 1 g1 ∼ · f 2 x0 g2 Si f ∼ g et si lim g(x) = l , alors lim f (x) = l . Des deux théorèmes précédents, il résulte que, lorsque l'on a à chercher la limite d'un produit ou d'un quotient, on peut remplacer chacune des fonctions par une fonction équivalente, choisie pour simplifier le calcul. Mais attention à ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une fonction composée. 1.4 Équivalents classiques

BE (x0 , r), Sphère de centre x0 et rayon r dans E, SE (x0 , r) Espace de Banach Suite convergente en norme Suite de Cauchy dans E, (xn )n∈N∗ Série convergente notée u = ∞ un n=1 Série absolument convergente dans un espace normé Somme directe ou produit direct E ⊕ F, E × F Supplémentaires topologiques M, N dans E, E = M ⊕ N Espace-quotient E/M, [x] ou x D 1.11 D 1.12 c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. D 1.13 D 1.14 D 1.15 Espaces p , 1≤p≤∞ 3 Cours No D

d'espaces vectoriels sont : les suites : ou ( , ) espace vectoriel des suites réelles, sur le corps des réels, ou $ $ # # " " ! !   plus généralement ou & & ( , ) ensemble des suites à valeurs dans les champs scalaires ou vectoriels. Un champ scalaire est défini par la donnée d'une nombre en chaque point (x,y,z) de l'espace, par exemple le champ de température ou le champ de pression. Ce n'est autre qu'une fonction de 3 dans . Un champ vectoriel est défini par la donnée d'un vecteur

Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que A2 = λA. Exercice 2 [ 00702 ] [correction] Résoudre l’équation X 2 = A où 1 0 A= 0 4 0 0   1 2  16 Exercice 6 Centrale MP [ 02390 ] [correction] Soit n un entier 2 et A un hyperplan de Mn (C) stable pour le produit matriciel. a) On suppose que In ∈ A. Montrer, si M 2 ∈ A, que M ∈ A. En déduire que pour / tout i ∈ {1, . . . , n} que la matrice Ei,i est dans A. En déduire une absurdité. b) On prend n = 2. Montrer que A est isomorphe à l’algèbre des matrices triangulaires

de noter Mate,e (f ), on note Mate (f ) et on parle de matrice de f dans la base e. Cette matrice est bien sûr carrée d’ordre n. Par exemple, soit f l’endomorphisme de R3 [X] défini par f (P (X)) = (X + 1)P (X) + P (X). On munit R3 [X] de la base canonique e = 1, X, X2 , X3 (dans cet ordre !).   f (1) = 1   f (X) = 1 + 2X 1 0  On constate que  . On en déduit que Mate (f ) =  0 f (X2 ) = 2X + 3X2     3 2 3 0 f (X ) = 3X + 4X 17.1.3  1 2 0 0 0 2 3 0 0 0  . 3 4  Coordonnées

exemples. Me4 Fonction dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient de fonctions dérivables de R vers R: - démonstration des formules, - exemples d’utilisation. Me5 Fonction composée de fonctions de R vers R : - définition, - applications à différentes études : ensemble de définition, sens de variation,... - mise en œuvre sur des exemples : fonctions polynômes du second degré, fonctions homographiques, autre(s) exemple(s). Me6 Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré à coefficients

fonctions CHAPITRE 3 Dérivation CHAPITRE 4 Applications de la dérivation CHAPITRE 5 Les suites numériques CHAPITRE 6 Géométrie plane CHAPITRE 7 Trigonométrie CHAPITRE 8 Produit scalaire CHAPITRE 9 Applications du produit scalaire CHAPITRE 10 Statistiques CHAPITRE 11 Probabilités : variables aléatoires CHAPITRE 12 Loi binomiale et applications 3 .................................................................

finie munis de bases et $f: E \to F$ une application lineaire, alors la matrice de la transposee de $f$ dans les bases duales et la transposee de la matrice de $f$. - Lemme : Si E est un espace vectoriel de dimension finie, l'application canonique de E dans son bidual est un isomorphisme. 3.2 Formes quadratiques - - - - - - - - - - - - Soit k un corps de caracteristiques <>2 (p.ex. Q,R,C). Soit E un espace vectoriel de dimension finie - Definition : forme bilineaire $\beta : E \times