Produit scalaire canonique

. . . . . . . . . . e e e e e 4.3 Isom´tries de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Liaison avec les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . 4.5 Isom´tries de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments sur les ´l´ments propres e ee . . . . . . . 6 Formes quadratiques et polynˆmes du second degr´ ` variable

An = a 1 n Correction (a réel donné). Calculer limn→+∞ An . n [005620] Exercice 24 ** Soient A une matrice carrée de format n et f l’application de Mn (C) dans lui-même qui à une matrice M associe MA. Trouver la matrice de f dans la base canonique de Mn (C) (ordonnée par l’ordre lexicographique). Correction [005621] Exercice 25 *** 0 ... 0  . .. ..  0 . . . . Soient A ∈ Mn (C) et B l’élément de Mnp (C) défini par blocs par B =  . .  . .. ..  . . 0 0 ... 0 A rang de B en fonction du

Systèmes différentiels linéaires et exponentielles de matrices . . . 6.4 Chapitre 6 sous Mupad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Exercices sur le Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Espaces vectoriels euclidiens 7.1 Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwartz 7.2 Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt 7.3 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . 7.4 Chapitre 7 sous Mupad . . . . . . . . . . . . . 7.5 Exercices sur le Chapitre 7 . . . . . . . . . . . 8

proportionnellement à la fréquence 𝜐 du rayonnement : 𝜀 = ℎ𝜈, où ℎ est la constante universelle dite constante de Planck.Effet photoélectrique Circuit de Millikan: L'énergie avec laquelle l'électron quitte la surface est mesurée par le produit de sa charge par la différence de potentiel contre laquelle il est juste capable de se pousser avant d'être amené au repos (𝑇 = 𝑞𝑉 ). Millikan a pris le soin de n'utiliser que de la lumière pour laquelle l'électrode éclairée

j  n Produit d’une matrice par un scalaire Soient A  aij 1 i  m et   K, alors A  aij 1 i  m 1 j  n 1 j  n Produits de matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m et 1 j  n B  bij 1i n 1 j  p Alors la matrice AB est une matrice de type (m,p) telle que AB = cij 1 i  m 1 j  p cij   aik bkj k 1 n Pour obtenir le coefficient de la ième ligne et de la jème colonne de la matrice produit, on multiplie

paramètre b1 n’est pas significatif alors que b2 l’est. q 2 u Residual standard error= ||b|| . T −k Multiple R-Squared est définie par : Definition 1 Lorsqu’il y’a une constante dans le modèle de régression multiple, on appelle coefficient de détermination le scalaire ||b − yδ T ||2 y R = ||y − yδ T ||2 2 Std. Error désigne l’écart type estimé. t. value est la statistique de Student donnée par (1.4). où y = 1 T Plus R2 est proche de 1, plus l’ajustement est meilleur. 2 paramètres sans compter

la s´rie de fonctions. Continut´? D´rivabilit´ de la somme? e e e e Divers 15 INT E et F deux ev euclidiens. Soit f : E → F , surjective, telle que f (0E ) = 0F et ∀(x,y) ∈ E 2 , f (x) − f (y) = x − y Montrer que f conserve la norme, le produit scalaire, et est lin´aire. e Divers 16 INT x2 DSE de e− 2 x 0 e 2 dt t2 Divers 17 INT Enonc´ ` v´rifier ea e f (x,y) = x((ln x2 ) + y 2 ) Etude des extrema locaux et absolus Divers 18 INT P ∈ R[X], P (X) = λ Montrer que n (X − ak )ωk

d’un tableau comme un nuage de points dans l’espace des individus ou dans l’espace des variables. L’ACP est l’analyse du triplet (X, Q, D) et consiste à déterminer les valeurs propres et vecteurs propres associés aux différentes possibilités de produits matriciels Xt DXQ , t t t DXQX , XQX D , et QX DX . Dans la pratique, on ne réalisera qu’une seule diagonalisation (dans la dimension la plus petite) et l’on déduira les trois autres systèmes de vecteurs propres. Par exemple, si p < n alors on diagonalisera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Equations Différentielles 4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Equation différentielle d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Equation différentielle linéaire “homogène” . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Equation différentielle linéaire homogène à coefficients constants 4.1.5 Equation différentielle linéaire non homogène

NOMBRES COMPLEXES 1.1.3 Pour tous couples (x, y) et (x , y ) de R2 , on d´finit un ´l´ment (x, y) ∗ (x , y ) de R2 par e ee (x, y) ∗ (x , y ) = (xx − yy , xy + x y). En particulier, (x, 0) ∗ (x , 0) = (xx , 0). Dans R, l’´l´ment xx est bien le produit de x et de x . La multiplication ainsi d´finie est donc ee e compatible avec celle de R. De plus, (0, 1) ∗ (0, 1) = (−1, 0). Si l’on identifie (−1, 0) au r´el −1, e on constate que −1 a une racine carr´e au sens de cette loi ∗ de R 2 . C’´tait bien