Produit scalaire canonique

Commandabilit´ et placement de pˆ les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 7.2.2 Placement de pˆ les sur une r´ alisation canonique . . . . . . . . . . . . . . . o e 7.2.3 Placement de pˆ les sur une r´ alisation quelconque . . . . . . . . . . . . . . o e 7.2.3.1 Obtention de la forme canonique a partir de la fonction de transfert ` 7.2.3.2 Obtention de la forme canonique a partir d’une autre r´ alisation . . ` e 7.2.3.3 Algorithme de placement de pˆ les . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7.3

variables. Limite. Continuité. Intéressons nous maintenant aux fonctions f : E ⇢ Rp ! Rq . Nous distinguerons deux types de fonctions : - les fonctions scalaires Rp ! R (qu’on appelle aussi fonctions réelles de variables réelles), -les fonctions vectorielles Rp ! Rq , q > 1. ATTENTION : certains résultats seront donnés pour les fonctions scalaires alors que d’autres le seront pour les fonctions vectorielles. 2.1 Fonctions réelles de variable réelle Définition 24 (FONCTION REELLE DE PLUSIEURS

vectoriels reste un cadre théorique pour de nombreux modèles économiques et de gestion. Dans les applications économiques, les espaces ont souvent une dimension supérieure à 2. La répartition des parts de marché entre différentes marques pour un produit donné, les résultats possibles d’un tirage au hasard dans une population, les valeurs possibles d’un prix du baril dans un an peuvent être représentés par des vecteurs caractérisés par un nombre de coordonnées supérieur à deux. Il en est de même pour

Lyon, tous droits réservés. 10 1.5.3 Formule de changement de l'origine des moments 1.5.4 11 Condition nécessaire et suffisante de l'équivalence de deux torseurs 11 1.5.5 1.5.6 Coordonnées d'un torseur • Invariant scalaire d'un torseur - Automoment 12 12 1.5.7 Comoment de deux torseurs 12 a) définition b) le comoment est un invariant 1.5.8 Moment par rapport à un axe 14 a) définition b) théorème c) exercice 1.5.9 Torseurs spéciaux

littéral. Comment développer une expression à l’aide de la distributivité et des identités remarquables ? Comment factoriser une expression ? Tels sont les objectifs de cette fiche. 1. Développer Développer une expression, c’est transformer un produit en une somme ou en une différence. a. Utilisation de la distributivité Pour tous nombres réels k, a et b :Exemples : Développer les expressions suivantes : b. Utilisation de la double distributivité Pour tous nombres a, b, c, d réels:Exemples

multiplication scalaire étant dénies respectivement par : (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) (x1 , . . . , xn )α = (x1 α, . . . , xn α) Mémoire de DIPES II . NTSAFACK DONGMO Frank Wilson c ENS 2010 Quelques dénitions et résultats 2 2. Pour tout ensemble X et tout espace vectoriel E sur un corps K = R, l'ensemble F(X; E) de toutes les fonctions de X vers E est un espace vectoriel réel sur K, l'addition vectorielle et la multiplication scalaire étant

12) ∆p∆r 2 C’est la relation d’incertitude de Heisenberg, qui a des conséquences physique importantes. En fait, vous démontrerez en TD dans quelques semaines que /2 est une borne inférieure pour le produit ∆p∆r. Par contre, avec un choix adéquat de f (k), on peut faire des paquets pour lesquels le produit ∆p∆r est aussi grand que l’on veut. En conclusion, si la fonction f (k) est suffisamment localisée dans l’espace des k, le paquet d’onde obtenu se déplace comme la particule classique, mais a une largeur

Master premi`re ann´e e e Rapha¨l Danchin e Ann´e 2009–2010 e 2 Table des mati`res e 1 Un 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 peu de topologie g´n´rale e e D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . e Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . e Topologie produit (hors-programme) Suites des espaces topologiques . . . Compacit´ . . . . . . . . . . . . . . . e 5 5 7 8 9 10 13 13 14 17 18 20 25 25 28 30 32 33 37 37 37 38 39 40 43 43 44 46 49 53 53 55 56 57 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

système (S ). Matriciellement (S) peut s’écrire AX = B avec A ∈ Mnm (K), B ∈ Mn1 (K) Opérations élémentaires sur les lignes Il existe trois sortes d’opérations élémentaires : 1. Échanger deux lignes : Li ↔ Lj . 2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul : Li ← αLi . 3. Ajouter à une ligne le multiple d’une autre : Li ← Li + λLj . Proposition : Le système obtenu à partir de (S) à l’aide d’une opération élémentaire sur les lignes est équivalent à (S) c’est à dire que les deux systèmes ont

équivalentes x0 x0 Si f 1 ∼ g1 et f 2 ∼ g2 , alors f 1 f 2 ∼ g1 g2 et x0 x→x0 x→x0 f 1 g1 ∼ · f 2 x0 g2 Si f ∼ g et si lim g(x) = l , alors lim f (x) = l . Des deux théorèmes précédents, il résulte que, lorsque l'on a à chercher la limite d'un produit ou d'un quotient, on peut remplacer chacune des fonctions par une fonction équivalente, choisie pour simplifier le calcul. Mais attention à ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une fonction composée. 1.4 Équivalents classiques