Produit scalaire canonique

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 12 13 16 17 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . . 2.2 Le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Règles du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires 2.5 L’inversion des

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 12 13 16 17 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . . 2.2 Le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Règles du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires 2.5 L’inversion des

homog`ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 4.4.2 R´solution de l’´quation avec second membre exponentielle-polynˆme e e o 5 G´om´trie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de rep´rage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 44 45 46 47 48 48 49 49 5 G´om´trie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de rep´rage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 44 45 46 47 48 48 49 49 5 G´om´trie du plan e e 5.1 Points, vecteurs . . . . . . . . . 5.2 Modes de rep´rage dans le plan e 5.3 Produit scalaire, produit mixte 5.4 Droites . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

variations, calcul des dérivées, graphes. Complément : formes logarithmiques de Arg sh et de Arg th puis dérivée de Arg th . D) Trigonométrie 1 - Périodicité 2 - Rappels de trigonométrie, formules d’addition, de transformation de sommes en produits et de produits en sommes, arc double et arc moitié. 3 - Rappels sur les fonctions trigonométriques, dérivée, sens de variation, graphe. 4 - Définition des fonctions trigonométriques réciproques Arc sin, Arc cos et Arc tan, étude des variations, calcul des

complexes, coniques, . . . ) et il n’y aura pas lieu de reprendre ensuite leur ´tude dans le cours e de math´matiques ; d’autres, au contraire, seront revus plus tard dans un cadre plus g´n´ral ou dans une e e e pr´sentation plus th´orique (groupes, produit scalaire, ´quations diff´rentielles, . . . ). e e e e Les deuxi`me et troisi`me parties correspondent ` un d´coupage classique entre l’analyse et ses applications e e a e g´om´triques d’une part, l’alg`bre et la g´om´trie euclidienne d’autre part. e e

. . . Elimination Gaussienne 7 7 10 12 13 16 17 Systèmes homogènes d'équations linéaires 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Quelques dénitions et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le produit matriciel 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

engendrés par  i ,  0  et −2i. An d'obtenir une 1 1 1 base orthonormée de vecteurs propres, il sut de normaliser ces vecteurs (lesquels, en vertu de la théorie générale, sont automatiquement orthogonaux les uns aux autres pour le produit scalaire hermitien canonique sur C3 ). Ainsi P et D dénies par  6 0 0 0  D = 0 18 0 0 −24  et i √  3  i  P = √  3  1 √ 3  i −√ 2 0 1 √ 2  i √ 6  2i   −√  6 1  √ 6 conviennent, ce que l'on peut, après coup, vérier directement