Produit scalaire canonique

le point O r r r • D’une base de l’espace : ( x , y, z ) 3 Produit scalaire de vecteurs Le produit scalaire de deux vecteurs est comme son nom l’indique un produit de deux vecteurs donnant un scalaire. Il est définit de la façon suivante : r r r r r r U .V = U × V × cos U ,V r Il est donc nul si les deux vecteurs sont orthogonaux. U ( ) Remarque importante : r r Si le vecteur V est unitaire (de norme 1) alors le V produit scalaire correspond à la projection r orthogonale de U sur la droite

TEST D’ÉVALUATION Première S 2009/2010 Mario RUSTER 3 août 2009 0.1 Trinôme du second degré : EXERCICE 1 : Exprimer chacun des trinômes ax2 + bx + c suivants sous sa forme canonique a(x − m)2 + n : x2 − 4x + 7 x2 − 2x − 6 x2 + 3x + 2 2x2 − 20x + 59 3x2 + 4x + 7 EXERCICE 2 : Factoriser chacun des trinômes suivants : x2 + 6x + 9 x2 + x − 2 2x2 − 10x + 12 3x2 + 13x + 4 EXERCICE 3 : Étudier le signe sur R des fonctions suivantes : f1 (x) = x2 − x − 6 f2 (x) = x2 + 2x + 8 f3 (x) = 2x2 + 4x

en justifiant que exp(u) = exp(id) ◦ exp(u − id) ). 16. Écrire enfin l’endomorphisme exp(u) comme un polynôme en u. IV. Calcul de distances à l’aide de projecteurs orthogonaux Dans cette partie, on suppose en plus que l’espace E est muni d’un produit scalaire < ·, · >, ce qui lui confère une structure d’espace euclidien. On rappelle que la norme euclidienne associée, notée · , est définie par : √ ∀x ∈ E, x = < x, x >. Si F est un sous-espace vectoriel de E, on note F ⊥ son orthogonal, et on appelle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Le symbole Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Sommes de produits, produits de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TABLE DES MATIÈRES 5 1.8. Quelques sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n, alors : A + B = a11+ b11a12+ b12⋯a1n+ b1na21+ b21⋯a22+ b22⋯⋯⋯a2n+ b2n⋯am1+ bm1am2+ bm2⋯amn+ bmn Produit matriciel : Si A est une matrice de format m x n et B une matrice de format n x p, on définit le produit de A par B comme étant la matrice C de format m x p dont le coefficient cij sur la ième ligne et la jème colonne est donné par : cij∶=k=1n aik . bkj Propriété du produit matriciel : Si A, B et C désignent trois matrices, sous réserve de comptabilité entre leurs formats, on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 12 13 16 17 2 Eléments du calcul matriciel 2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . . 2.2 Le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Règles du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires 2.5 L’inversion

Séquence 5 1ère partie : Produit scalaire (1) 2e partie : Suites numériques (1) Séquence 5 – MA12 1 © Cned - Académie en ligne 1ère partie Produit scalaire (1) Sommaire 1. Pré-requis 2. Produit scalaire de deux vecteurs 3. Synthèse de la partie 1 de la séquence 4. Exercices d’approfondissement 2 © Cned - Académie en ligne Séquence 5 – MA12 1 Pré-requis A Théorème de Pythagore 1. Théorème de Pythagore C Vous connaissez bien sûr ce théorème. Théorème Le triangle ABC est rectangle en A

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa 1 Algèbre linéaire dans R2 et R3 1.1 Vecteurs de R2 et R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Vecdjzdjkszjc ozkd zl zleteurs et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Produit scalaire, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ecriture matricielle d’une combinaison linéaire . . . .

1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Produit scalaire - Premi`ere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 Formule de changement de base - Notion de repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ex. 1.2 : V´erification de la coh´erence de la d´efinition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5 Sur le caract`ere direct des bases i.e. la notion d’orientation . .

en fait trµs g¶n¶rale et trµs puissante. ee e e e e e Le deuxiµme chapitre sera consacr¶ a une brµve revue du formalisme hamiltonien. Brµve parce e e µ e e que le sujet est extr^mement vaste, en particulier en ce qui concerne les transformations canoniques et e les liens avec la m¶canique quantique, brµve aussi parce que le formalisme hamiltonien ne sera guµre e e e utilis¶ en grand d¶tail dans les cours de premiµre ann¶e. e e e e 17 18 Chapitre 1 Formulation lagrangienne 1.1 Description