Produit scalaire canonique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 27 27 27 28 29 29 29 II Géométrie : produit scalaire et applications 6 Angles orientés 6.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Mesures de l’angle orienté

Suites numériques………………………………………………...….22 Chapitre VI : Statistiques et probabilités………………………………………..…26 Chapitre VII : Vecteurs et barycentres………………………………….…….……32 Chapitre VIII : Angles orientés - Trigonométrie…………………………………..36 Chapitre IX : Produit scalaire dans le plan………………………………………...40 Chapitre X : Géométrie dans l’espace………………………………………….….44 Chapitre XI : Transformations du plan et de l’espace……………………….…….48 Partie B : EXERCICES………………………………………….….51 Chapitre I : Equations et inéquations

des matières Préface vii Chapitre 1 Compléments d’algèbre linéaire 1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables 2 Réduction des endomorphismes 3 Réduction d’une matrice 1 1 7 11 Chapitre 2 Algèbre bilinéaire 1 Produit scalaire 2 Espaces euclidiens 3 Endomorphismes symétriques 24 24 35 43 Chapitre 3 1 2 3 4 Cas des fonctions de signe quelconque 59 59 64 71 77 Éléments de topologie de Rn Rappels sur Rn Distance euclidienne Ouverts et

l’algorithmique Second degré Fonctions de référence Dérivation Olivier Sidokpohou Claude Talamoni Alain Truchan Étude des variations d’une fonction Suites numériques – Généralités Suites arithmétiques et géométriques Géométrie plane Trigonométrie Produit scalaire Statistiques Probabilités Loi binomiale 9/02/11 15:25:46 page-titres-GF.indd 1 9/02/11 15:25:46 1. Programme officiel En Seconde, les élèves ont conçu et mis en œuvre quelques algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle

l’intervalle [0, n]. 3. On suppose le marché viable. Que dire de ce processus ? Quelle est, pour tout n, ˜ x,α l’espérance conditionnelle, sous une mesure martingale, de Vn à un instant k < n (i.e. sachant Fk ) ? Solution : < ., . > désigne le produit scalaire canonique de Rd . 1. La valeur du portefeuille au matin du premier jour est sa valeur initiale x, et elle au aussi égale à B0 β1 + < α1 , S0 >. Donc β1 est déterminé par x et α1 . Soit n ≥ 1. La valeur du portefeuille au soir du n-ème jour (après

Chapitre 7 Trigonométrie 62 Chapitre 8 Géométrie plane 70 Chapitre 9 Produit scalaire et applications 87 Couverture et maquette intérieure : Nicolas Piroux Composition et schémas : APS-Chromostyle © Hachette livre, 2011 3 Repères 1re, Livre du professeur 1 Les fonctions de référence Programme officiel Contenus Capacités attendues Commentaires Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant

x, · · · , xi − x, · · · , xn − x)′ ¯ ¯ ¯ ˜ y = (y1 − y , · · · , yi − y , · · · , yn − y )′ . ¯ ¯ ¯ ˜ ˜ Par d´finition, le cosinus de l’angle entre, x et y vaut e cos(˜ , y) = x ˜ ˜ ˜ < x, y > , ||˜ || × ||˜ || x y 3 ˜ ˜ o` < x, y > est le produit scalaire entre les vecteurs x et y u ˜ ˜ ˜ ˜ < x, y >= ˜ ˜ et ||˜ || (rep. ||˜ ||) est la norme de x (resp. y) : x y ||˜ || = x n ∑ i=1 n ∑ i=1 (xi − x)(yi − y ), ¯ ¯ (xi − x)2 et ||˜ || = ¯ y n ∑ i=1 (yi − y )2 . ¯ ˜ ˜ Le coefficient de corr´lation

0 1.1.2 Multiplication par un scalaire et addition On peut multiplier un vecteur par un scalaire Soit un scalaire c ∈ R et un vecteur colonne a de Rn , alors     a1 ca1 .  .  c × a = c ×  .  =  . . . . an can Deux vecteurs lignes (ou deux vecteurs colonnes) peuvent s’additionner s’ils sont de mˆme dimension. e       a1 b1 a1 + b1 . .  .  .  +  .  =  . . . . . an bn an + bn En utilisant la multiplication par un scalaire et l’addition, on peut d´finir une combinaison

vectoriel normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont. Exercice 10 [ 02637 ] [correction] On note (. | .) le produit scalaire canonique sur Rn et . le produit scalaire associé. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : : si x, y ∈ Rn , (x | y) x y avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires et de même sens. a) Soit x, a, b ∈ Rn tel que a = b et x − a = x − b . Montrer que

fonction scalaire varie de U à U + dU avec dU = ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z Par définition dU = gradU • d ℓ avec gradU = ∂U ∂U ∂U x + y + z. ∂x ∂y ∂z Conclusion : Opérateur de dérivation permettant de définir un vecteur à partir d’une fonction scalaire U : gradU = ∂U x + ∂U y + ∂U z (cartésien) ∂x ∂y ∂z Exemples : Gradient de pression E = - gradV en électrostatique avec V le potentiel électrostatique 2 I.2 La divergence : Définition : Opérateur associant un scalaire à un vecteur