Produit scalaire canonique

= M ( x y∗ ) = lim M T ( x y∗ ) T→∞ (3) I.E.1) Si E est un espace vectoriel inclus dans M 2 , montrer que deux fonc2 2 tions x, y ∈ E sont comparables (développer x + y et x + iy ). Il en résulte que sur E , ( x, y ) a est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier M x+ y 2 = M x + M y + 2 Re 2 2 (4) I.E.2) On dira que deux fonctions x, y ∈ 2 Que vaut alors M x + y ? I.E.3) M2 ,

lin´aire par rapport ` sa seconde variable. De plus B(P, P ) ≥ 0 e e a et n’est nul que si ∀i ∈ [|0, n|], P (xi ) = 0. Si P ∈ Rn [X], on peut en d´duire que P = 0 (un e polynˆme non nul de degr´ n admettant au plus n racines). Ainsi, B est un produit scalaire sur o e Rn [X]. Le r´sultat est faux sur C(R, R) car P = n (X − xk ) ∈ C(R, R) est non nul mais v´rifie e e k=0 B(P, P ) = 0. 1.2. On a imm´diatement e 1 si k = j Lk (xj ) = δk,j = } 0 sinon On en d´duit que e ∀k, i ∈ [|0, n|], B(Lk , Li ) = Li

Varignon. E Développer la notion de vecteur moment et de moment d une force par rapport à un axe. E Décrire et définir les notions de couple et de vecteur couple Ir GHIRI A IEPSCF -Uccle UF: Mécanisme Statique Moments et couples I Moment scalaire d une force par rapport à un point 1 - Définition M A (F ) = F × d d = distance entre A et F M A ( F ) = F × AB × sin a AB × sin a = d Ir GHIRI A IEPSCF -Uccle UF: Mécanisme Statique Moments et couples Ÿ Exemple Déterminons

centrée, i.e. on a soustrait la moyenne de chaque variable au préalable. Ceci est fait de façon à faire coïncider le centre de gravité du nuage de points avec l'origine. Les projections des n observations sur le vecteur u1 sont données par: C=Xu1 (produit scalaire) La somme des carrés de ces projections (inertie) est: C'C=u1'X'Xu1 On choisira u1 de façon à maximiser cette dernière quantité. Le problème est donc: Maximiser u1'X'Xu1 sujet à u1'u1=1 Il s'agit d'un problème classique d'optimisation sous

Chapitre 8 Géométrie élémentaire de l’espace Objectifs • Rappeler les différents modes de repérage dans l’espace • Rappeler les notions de produit vectoriel, de produit scalaire et de produit mixte ainsi que leurs applications. • Étudier les droites, les plans et les sphères de l’espace. Sommaire I) Les modes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Repère orthonormal

¼ ¼ ¼ · · ¼ π+x −x Ó×´ × Ò´ Ó×´ × Ò´ ¾ · ܵ  × ÒÜ Ó× Ü Ó× Ü Þ ½ ½e · ݾ 1.3.3 Formules d’addition e e     ܵ   Ó× Ü   ܵ × Ò Ü · ܵ   Ó× Ü · ܵ  × ÒÜ 1.1.3 ÞÞ Þ Þ ÞÒ ¼ ¼ Module et argument d’un produit, d’un quotient e e´ e e ¼ ´ · µ µ´   ¼ ¼ e ¼ µ µ e Ò ¼ e´ · µ ¼ Ò Ò ÞÞ ¬ ¬ ¬Þ¬ ¬ ¬ ¬Þ ¬ ¼ ¼ Þ Þ Þ Þ ¼ Ó×´ · µ Ó×´ × Ò´ Ó× ¾ × Ò¾ Ø Ò¾   Ó× Ó× ×Ò ×Ò Ó×¾ Ó× Ó× Ó× Ó×  ×Ò ·×Ò

; 1), C(4 ; −3 ; 3) et D(−1 ; −5 ; −1). 1. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : −2x − 3y + 4z − 13 = 0. b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). −→ −→ − − c. Calculer le produit scalaire BH · CD . d. Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ? 2. On définit les points 1(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ? Exercices de géométrie 4 Baccalauréat S 4. Liban juin 2005 Pour chacune

produit scalaire (première) Produit Scalaire : Rappels et Applications I. Définition du produit scalaire Définition 1) Le produit scalaire de deux vecteurs Si ou alors On appelle carré scalaire et on note 2) En notant et non nuls est le réel, noté (ou ) défini par : le produit scalaire et H le projeté orthogonal de B sur (IA) : II. Calcul Quels que soient les vecteurs a) b) c) d) e) et les réels et : III. Orthogonalité IV. Vecteur normal Un vecteur non nul est dit normal à

E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 4 points 1. On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur R par g (x) = f (−x) f (x). a. La fonction est définie sur R : comme le produit f (−x) f ′ (x) = 1, aucun de ces deux nombres ne peut être nul : la fonction ne peut s’annuler sur R (et le graphe ne peut avoir de tangente horizontale). b. La fonction f étant supposée dérivable, g l’est aussi et g ′ (x) = − f ′ (−x) f (x)+ f (−x)

Chapitre 4 : PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE Compétences : Connaître et savoir appliquer les propriétés du produit scalaire dans le plan Savoir définir le produit scalaire dans l’Espace Connaître et savoir utiliser les propriétés du produit scalaire dans l’espace Partie A : LE PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN 1 Définitions Soit u → v deux vecteurs et trois points A, B et C du plan vérifiant u = AB et v = AC . et → → → → → Si → = → ou → = → alors u . v = 0. u 0 v 0 Si u ≠ 0 et