Produit vectoriel

une idée clé : 1. Différences finies : utilisation du développement de Taylor pour approcher les dérivées. 2. Élements finis : utilisation de la formulation variationnelle de l’e.d.p. puis approximation de l’espace des solutions par des espaces vectoriels de dimension finie. Lorsque l’on a obtenu le système (2), il faut s’assurer que celui-ci admet une solution unique et que celle-ci est une “bonne” approximation de u. Ensuite, on résout le système AU = b. En TP, on travaillera avec le logiciel de

plus grand soin à la rigueur des démonstrations et de la présentation. En particulier toute question devra commencer par un titre annonçant ce qui va être démontré et se terminer par une conclusion. Dans tout le problème, E désigne un C-espace vectoriel de dimension finie n 2. On note GL(E) le groupe (pour la composition des applications) des automorphismes de E et SL(E) l’ensemble des endomorphismes de E de déterminant 1. id E désigne l’application identité de E. On appelle involution de E un

cours est bas´ sur le poly de Tristan Tomala des ann´es e e pr´c´dentes. e e 3 4 Table des mati`res e 1 Espaces vectoriels 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1.3 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . 1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . 1.5 Somme directe de k sous-espaces vectoriels 7 7 8 8 11 13 14 14 15 16 17 17 18 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mathématique et raisonnements 2. Ensembles et applications 3. Relations 4. Le corps des nombres complexes 5. Groupes 6. Anneaux et corps 7. L’anneau des matrices 8. L’anneau des polynômes Le cours d’algèbre du second semestre sera consacré aux espaces vectoriels, à l’algèbre linéaire et aux équations différentielles. 4 Chapitre 1 Logique, langage mathématique et raisonnement 1.1 Éléments de logique Définition 1.1.1. Une proposition logique est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer

Y0 ) ∈ I × Kn il passe une seule solution de (1.1) définie sur I. Preuve. Voir Chapitre 2. Ce résultat implique que 1. S0 = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t)} est un espace vectoriel de dimension n. Preuve. S0 , muni des opérations somme de deux solutions et produit d’un scalaire λ ∈ K et d’une solution est un espace vectoriel. S0 a dimension n, car si on fixe t0 ∈ I, alors Φt0 : S0 Y → → Kn Y (t0 ) est un isomorphisme linéaire, grâce au théorème 1.1.2. 2. S = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t) +

nombre réel positif un autre nombre réel positif. On peut considérer que l'ensemble de départ est IR, l'ensemble d'arrivée est IR aussi. Le domaine de définition . est IR+. Un capital de 10 000 € placé au taux fixe 3% par an , à intérêts composés, produit au bout de n années un intérêt de f(n) = 10 000 ( 1,03n -1) € . Ici on peut considérer que l'ensemble de départ de la fonction f est IN, ensemble des nombres entiers naturels (bien sûr on pourrait considérer que l'ensemble de départ est IR , et que

formule, etc., et le d´finir formellement dans le cadre que nous nous e e e sommes donn´, c’est ` dire ` partir de la notion d’ensemble. Ces objets sont e a a alors des objets math´matiques, comme peuvent l’ˆtre N, Z, Q, R, un groupe ou e e un espace vectoriel, et on peut donc d´montrer des th´or`mes les concernant, par e e e exemple qu’une formule n’est pas cons´quence d’un ensemble d’axiome donn´. e e Certains pensent qu’on trompe le lecteur en parlant ainsi des math´matiques e en termes math´matiques;

matrice unité de Mn(IR) et Jn la matrice de Mn(IR) dont tous les éléments sont égaux à 1. 3) a) Déterminer le rang de Jn. En déduire que 0 est valeur propre de Jn et déterminer la dimension du sous-espace propre associé. ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ b) Calculer le produit Jn ⎜ M⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ c) À l’aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de Jn , puis celles de An. ⎛ h1 ⎞ ⎜ ⎟ h2 4) a) Montrer que, pour tout H = ⎜ ⎟ non nul, on a : tH A n H > 0. ⎜ M⎟ ⎜ ⎟ ⎝ hn ⎠ Sujet EDHEC 2005 – Math S 2

encore plus. a Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Alg`bre lin´aire (r´vision programme sup) e e e Arithm´tique dans Z et K[X] e R´duction des endomorphismes e Espaces vectoriels norm´s e Calcul diff´rentiel e Dualit´ e Coniques-Quadriques Espaces vectoriels euclidiens Int´gration vectorielle e S´ries dans un Banach e Suites et s´ries de fonctions e S´ries enti`res et fonctions holomorphes e e Int´grale d´pendant d’un param`tre e e e S´ries de Fourier e ´ Equations diff´rentielles

Pascal Lainé ( Exercice 7. Soit l’application définie pour tout ( ) ( {( ) Soit ( ) et sa dimension. 1. Donner une base de 2. Donner une base (La plus simple possible) de ( ) 3. A-t-on ( ) ? 4. Montrer que est un sous-espace vectoriel de ( ) 5. A-t-on ? Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Soit ( )). ( ) par : ) } ( ) et sa dimension. , en donner une base et sa dimension. un endomorphisme de dont l'image de la base canonique ( ) ( ) ( )