Produit vectoriel

Chapitre n°13 : Vecteurs (Partie n°1) I. Notion de vecteur 1. Translation et vecteur Définition : Soient A et B deux points du plan. À tout point C du plan, on associe l’unique point D tel que [AD] et [BC] aient le même milieu. On dit que D est l’image de C par la translation qui à A associe B. Illustration : A reprendre : les deux illustrations de la vidéo Définition : vecteur La translation qui à A associe B s’appelle aussi la translation de vecteur Représentation graphique : Si les points A et

Feuille Exo 1 I. Colinéarité de deux vecteurs u et ⃗v sont colinéaires SSI il existe λ≠0 tel que ⃗ u =λ ⃗ v . Définition : Deux vecteurs non nuls ⃗ Définition : Par convention, ⃗ 0 est colinéaire à tout vecteur. u ( x ) et ⃗v ( x ' ) sont colinéaires SSI x y '− x ' y=0 Propriété : Dans un repère du plan, ⃗ y y' Démonstration : II. Vecteur directeur d'une droite u est un vecteur directeur d'une droite d s'il existe A et B deux points de d distincts tels Définition : Un vecteur ⃗ ⃗ que AB=⃗ u . Remarque

2 ` ALGEBRE Exercice 2.1. Soit E l’espace vectoriel des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres

Espace Vectoriel Rp de dimension p. (respectivement, les p colonnes représentent p points dans l'E.V. Rn ) Une représentation graphique de ces points dans cet espace est bien entendu impossible lorsque p>2. L'analyse de données propose une représentation graphique optimale dans R2, obtenue par la projection de ces points dans un plan (π) privilégié appelé plan factoriel.(ou plan principal) r r Ce plan est un sous-espace de Rp, généré par les 2 premiers vecteurs propres u1 et u 2 du r r produit matriciel

réalité, la dimension a de nombreuses définitions, dont quelques unes en mathématiques et d’autres en physique. En Physique Le terme “dimension” renvoie à deux notions complètement différentes: Il utilise beaucoup la notion mathématique d’espace vectoriel. Ainsi, la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un événement. Par exemple, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x

dit qu’il est partiel sinon. Exemple. Montrer que les relations suivantes sont d’ordre. L’ordre est-il total ou partiel ? (b) Dans PpE q, la relation d’inclusion ; (c) Dans (a) Dans R, la relation « inf´rieur ou ´gal » usuelle ; e e R2 , l’ordre produit d´fini par : e px, yq ¤ pxI, yIq ðñ x ¤ xI et y ¤ yI (d) Dans R2 , l’ordre lexicographique d´fini par : e px, yq ¤ pxI, yIq ðñ x   xI ou Attention.   x  xI et y ¤ yI ¨ 1.2 ´e El´ments remarquables D´finition. Soit ¤ une

sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation 2 2 2 2 3 K désigne R ou C, E un K-espace vectoriel . 2.2 Polynôme de matrice 1 Sous espaces stables par un endomorphisme Définition 1 : Soit u ∈ stable) si (E), un sous espace vectoriel F de E est

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur

21/10/2010 Algèbre linéaire Contenu du cours : A. Espaces vectoriels de dimension finie, sous-espaces vectoriels, bases, dimension Applications linéaires, noyau, rang, image Matrice d’une application linéaire, Opérations sur les matrices, changement de base, matrices particulières, Diagonalisation B. C. Partie 1 1 21/10/2010 Introduction : Rappels Systèmes d’équations linéaires Un système d’équations linéaires (ou système linéaire ) de n équations et à p inconnus (nous

D’UN VECTEUR PAR UN NOMBRE 1. Définition Etant donné un vecteur u et un nombre k, on appelle produit du vecteur u par le nombre k le vecteur w=ku ayant les caractéristiques suivantes: -Si u ≠ 0 , si k=0 alors w=0 si k>0 alors w et u ont même direction, même sens, la longueur de w étant le produit par k de la longueur de u si k<0 alors w et u ont même direction, sens contraire et la longueur de w est le produit par -k de la longueur de u. -Si u=0 alors w=0. -Cas particuliers: 1AB=AB , (-1)AB=-AB=BA