Produit vectoriel

87 98 104 Algèbre linéaire 107 4 Systèmes linéaires Calcul matriciel 1. Systèmes linéaires 109 109 III TABLE DES MATIÈRES 2. Calcul matriciel 3. Un exemple d’espace vectoriel 114 125 5 Espaces vectoriels applications linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 131 131 138 142 144 148 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Sur quelques questions de calcul différentiel Notations et conventions Pour tout entier n > 0, on note . , . le produit scalaire euclidien usuel et || . || la norme associée sur Rn , Sn−1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l’espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn (R) des matrices inversibles

   (x, y) = x2 y    (x, y) = 2  ∂y (x, y) = ∂y ∂y x + y2 x2 + y 2 u=x , v =y−x déterminer les fonctions f : R2 → R de classe C 1 solution de l'équation aux dérivées partielles : ∂f ∂f + =f ∂x ∂y Exercice 35 [ 01772 ] Analyse vectorielle On appelle laplacien d'un champ scalaire F de classe C 2 le champ scalaire déni −→ − par ∆F = divgrad F . 2 2 a) Montrer que ∆F = ∂ F + ∂ F . ∂x2 ∂y 2 b) Exprimer ∂F ∂ρ Exercice 32 En passant en coordonnées polaires, résoudre sur R2 \ {(0

SO(3). Par ailleurs, une rotation est une transformation rigide car : 1. ||Rm − Rn|| = ||m − n||, ∀m, n ∈ R3 ; 2. R(v × w) = Rv × Rw, ∀v, w ∈ R3 . 1.2.6 Combinaison de rotations Soient deux rotations R1 et R2 , alors R1 R2 = R2 R1 ; ces deux produits ont chacun ´ une signification, que nous allons etudier maintenant. Deux cas se pr´ sentent pour combiner deux rotations : e – soit on effectue la seconde rotation par rapport au rep` re r´ sultant de la premi` re e e e rotation ; ` – soit on effectue

Espaces vectoriels 1. Soit E = R∗ × R. On d´finit pour (x, y) et (x , y ) dans E et λ ∈ R : e + (x, y) + (x , y ) = (xx , y + y ) et λ(x, y) = (xλ , λy) V´rifier que E muni de ces lois est un R-espace vectoriel. e 2. 3. Soient X ⊂ R et E = f ∈ RR , ∀x ∈ X, f (x) = 0 . Montrer que E est un R-espace vectoriel pour les lois usuelles. A|x| pour On note E l’ensemble des fonctions f : R −→ R telles qu’il existe a ∈ R+ et A ∈ R+ avec |f (x)| tout x a. Montrer que E est un R-espace vectoriel pour les

Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel réel CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL I- Loi de composition interne et Loi de composition externe......................................................................2 I-1 Loi de composition interne (L.C.I.).................................................................................................................2 I-1-1 Définition...................................................................

1) Interpréter les sorties suivantes 2) Lors de la séance précédente nous avons analysé le nuage de points individus dans l'espace des variables. Réécrire le programme IML sous SAS afin d'obtenir les informations suivantes : - la matrice de dispersion des individus V - les valeurs propres et les vecteurs propres associés à cette matrice V - les coordonnées des projections des variables sur le plan factoriel 3) Quelle est l'inertie totale (la dispersion) du nuage des points variables dans l'espace

Second degré 1 Forme réduite et forme canonique Définition : Une fonction polynôme f de degré n est une fonction définie sur Ë par f( x)=an x n +an−1 x n−1+… +a2x 2+a1x+a0 où les coefficients a0, a1 ,…, an−1 sont des réels quelconques et an est un réel non nul. Première ES / L Exemples : • f : x → 5x 6+2x 3−1 et g : x → x 3−x sont des fonctions polynômes de degrés respectifs 6 et 3. 2x 2+3x+1 • u : x → x+1 et v : x → ne sont pas des fonctions polynômes. x−1 Propriété : (admise et Hors Programme)

1 1.1 Compléments sur R La droite réelle La droite réelle R =] 1; +1[ est considérée comme munie de: 1 ) son addition "+ "et sa multiplication " " usuelles lui donnant une structure de corps commutatif ( et d’ espace vectoriel sur lui - même ) 2 ) sa relation d’ ordre total " " usuelle 3 ) sa norme x 7! jxj := max(x; x), pour laquelle elle est complète. 1.1.1 Proposition Si O est un ouvert non vide de R, alors il existe une suite (Ik :=]ck ; dk [)k2N d’ intervalles ouverts de R , qui sont

d'entreprise. * Les logiciels de dessin vectoriel : Permet le traitement d’image vectorielle. Une image vectorielle est une image numérique composée d'objets géométriques individuels (segments de droite, polygones, arcs de cercle, etc.) définis chacun par divers attributs de forme, de position, de couleur, etc. Elle se différencie de cette manière des images matricielles (ou « bitmap »), dans lesquelles on travaille sur des pixels. Un dessin vectoriel permet une résolution d'image quasiment infinie