R2-D2

différentielle x ¨ + 2ξω0 x˙ + ω02 x = 0 Avec ξ, coefficient d’amortissement. On définit le facteur de qualité Q tel que Q= 1 2ξ Résolution : – Equation caractéristique r2 + 2ξω0 r + ω 2 = 0 – Calcul du discriminant – si ∆ > 0 (ξ > 1) : 2 racines réelles r1 et r2 x = A exp(r1 t) + B exp(r2 t) – si ∆ < 0 (ξ < 1) : 2 racines complexes conjuguées r1 = r2 = −ξω0 + jωA avec ωA = ω0 1 − ξ 2 x = A cos(ωA t) + B sin(ωA t) exp(−ξω0 t) = C cos(ωA t + ϕ) exp(−ξω0 t) – si ∆ = 0 (ξ = 1) : une racine double r0 = −ω0 x =

(décibel) comme 10 fois le logarithme de base 10 du rapport de la puissance acoustique de la source W à une puissance acoustique de référence : W = 10-12 W Lw = 10log w / w0 C’est la puissance d’une source dont l’intensité sur une sphère unitaire (4∏r2 = 1m2) serait l’intensité de référence 10-12 Wm-2. 1 CHAPITRE VI Composition des bruits Niveaux résultants L’utilisation des niveaux en dB complique quelque peu la composition des bruits. Lorsqu’on veut établir à partir des deux bruits définis

carré construit sur le côté [OH] dans le demi-plan (Π). Le théorème Al-Kashi, appliqué au triangle OHB, donne : BH 2 = OB 2 + OH 2 − 2OB.OH. cos BOH = 2R2 − 2R2 . cos BOH On a successivement les équivalences suivantes : BH > R ⇔ ⇔ ⇔ 2R2 1 − cos BOH > R2 1 1 − cos BOH > 2 1 > cos BOH. 2 On a alors BOH > 60o , ou encore BAC > 60o Donc une condition nécessaire et suffisante sur l’angle α pour qu’il existe Olympiades académiques - 2009 47 un triangle olympiadique ABC de sommet A tel que BAC

5x2 − 12xy + 7y 3 + xαz , où α ∈ R∗ Calculer u = grad f , puis div u. 2) Pour quelle valeur de α ∈ R existe-il des fonctions f (x, y), de deux variables telles que l’on ait, en tout point (x, y) : grad f (x, y) = (x2 y 2, y + α x3 y), où grad f : R2 → R2 . Tracer z = f (x, y) pour z = 0 et z = 1. Tracer grad f . Vérifier que grad f est un vecteur dirigé dans le sens des f croissants. Exercice 2 : Intégrales multiples Calculer les intégrales doubles suivantes : D 1 dx dy, où D est le rectangle [1

Durée : 4 heures Baccalauréat S Centres étrangers juin 2005 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 0, 3 D1 0, 6 0, 7 R1 R1 3 points 1. 0, 2 0, 7 0, 4 D1 D2 0, 8 R2 R2 D2 En suivant l’arbre de probabilités pondéré ci-dessus, on a p(R1 ) = 0, 6 × 0, 3 = 0, 18. 2. De mêmep(R2 ) = 0, 4 × 0, 7 × 0, 2 = 0, 056. Donc p(R) = 0, 18 + 0, 056 = 0, 236. 0, 18 p(R1 ∩ R) 3. On sait que p R (R1 ) = = ≈ 0,762 6 ≈ 0, 763. p(R) 0, 236 4. On a un schéma de Bernouilli avec p = 0, 236 et n =

pesanteur). où il y a e qu’elles ont tendance à se fendre suivant la longueur lorsqu’elles éclatent et non pas suivant le diamètre. désolidarisation, l'action du 2 hémisphère s'annule et il ne reste plus que deux forces, d'où la relation : On peut faire le d2 2 p a = 79.103 N F = ! d pa = 25 000 N 4 4 Cela représente représente lelepoids d'une masse de 2500 kg accroché à une corde. On devine que le abourgmestre gagné Cela poids d’une masse de 7900 kg. On devine facilement que facilement le bourgmestre gagné

Calculer sa période de rotation. Ce satellite est-il géostationnaire ? Exercice 7 : On considère un système constitué de deux poulies (P1) et (P2) reliées par une courroie inextensible. la première poulie a un rayon R1=5cm et la deuxième a un rayon R2=20cm . La première poulie tourne avec une vitesse de 300tours/min . 1) Calculer la vitesse angulaire de (P1) en rad/s . 2) Calculer la période et la fréquence du mouvement de (P1) . 3) Calculer la vitesse linéaire d’un point appartenant

= 1 • Nous avons : 1 Une course automobile 2 Mouvement d’un point matériel sur une parabole 1 • Sachant que cos2 q = 1 (1 + cos q), l’équation polaire 2 2 s’écrit : r = 2a – r cos q ; avec x = r cosq et y = r sinq, et en élevant au carré : r2 = x2 + y2 = (2a – x)2, ce qui donne : – y 2 + 4a2 x= , 4a parabole représentée ci-dessous. y 2a 2 2 • À l’instant t1 : 1 2 d = xA(t 1) = xB (t 1) = aAt1 ≈ 1,8 . 102 m. 2 3 • v A(t 1) = aAt 1 ≈ 38 m.s– 1 et v B(t 1) = aB(t1 – t 0) ≈ 42 m.s– 1

A = CΛC , where Λ = diag(λ1 , . . . , λ p ) Basic Geometry Euclidean distance p d2 (x, y) = j=1 (x j − y j )2 = (x − y) (x − y) = (x − y) I p (x − y) Weighted Euclidean distance. Let W = diag(w1 , . . . , w p ), w j > 0, j = 1, . . . , p : p d2 (x, y) = (x − y) W(x − y) = j=1 w j (x j − y j )2 Generalized Euclidean distance with “Metric" Q > 0 d2 (x, y) = (x − y) Q(x − y) Norm of x: x = d2 (x, 0) = √ xx= p i=1 xi2 Linear Transformations Random vectors • y = Ax + b ⇒

rotations autour des liaisons successives restent libres, ce qui confère à la chaîne une grande flexibilité, source de configurations multiples : H 3C (CH2)n CH2 R1 CH2 (CH2 )n' COOH R2 R1 H R1 H H H H H R1 H H R2 H H R2 H H Représentations en perspectives R2 Représentation de Newman Nous aurons pour les diverses conformations des conformères éclipsés, des conformères décalés dont la forme la plus stable est la conformation transoide ou anti qui,