Raisonnement par récurrence

ESPARRE B ACCALAURÉAT BLANC — SÉRIE S É PREUVE DE MATHÉMATIQUES Les élèves faisant spécialité maths traiteront l’exercice 2. Spécialité ; les autres traiteront l’exercice 2. Obligatoire. « La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. » Exercice 1. commun à tous les élèves (5 points) Partie A – Restitution organisée de connaissances 1. Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur si, et seulement si

au cabinet du Gouverneur militaire de Paris. Participation à un stage expérimental au Cenzub en mai 2016 destiné aux réservistes citoyens. Enseignant-chercheur en droit (2006-2013). Dorothée Lobry Selon Alfred de Vigny « l’expérience seule et le raisonnement qui sort de nos propres réflexions peuvent nous instruire ». Les guerres étant des moments privilégiés d’expérience, c’est en fonction des circonstances et des pratiques acquises sur le terrain que se développent les techniques de combat. Au fil

associative et possède ε pour élément neure. On notera parfois le produit sous la forme u · v afin d’éviter certaines ambiguités. Tout produit, par répétition, donne naissance à une notion de puissance. La puissance nème d’un mot est définie par récurrence sur n comme suit : u0 = ε et un+1 = u · un . Muni du produit de concaténation et de son élément neutre, Vt∗ est appellé le monoïde libre sur Vt . Cette dénomination fait référence au fait que tout mot u est soit le mot vide ε, soit commence par

Paris Samedi 14/12/2013 MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch Devoir Surveillé 4 – Suites, Structures algébriques La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté, la précision et la concision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. L’usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit. Notamment

1 Raisonner par récurrence Pour reprendre contact 1 Avec un tableur a. Pour n Œ ‫ގ‬, un = 3n - 1 3n + 1 b. Pour n Œ‫ގ‬, un +1 = 2un + 1 et u0 = - 1 un c. un +1 = 3un2 - ( n - 1) + 1 ; u0 = - 1 (n Œ‫)ގ‬ 2 Calculs de termes d’une suite a. u1 = - 3 ; u2 = - 2 ; u3 = 3 b. u1 = 5 ; u2 = 7 ; u3 = 11 c. u1 = 6 ; u2 = - 2 ; u3 = 6 d. u1 = 2 ; u2 = 7 ; u3 = 12 3 Listes incomplètes 1. a. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 2. a. Pour n Œ‫ގ‬, un = 3n b. 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63

son style cru, la récurrence de thèmes tels que l’inceste, le viol, le meurtre, recette efficace pour bouleverser le spectateur. Certes les pièces de Mouawad sont prenantes, bouleversantes, mais le dialogue qu’elles entretiennent avec le monde, leur faculté de formuler des questions grâce à la fiction dépasse ce qui serait une volonté de choquer gratuitement ou même, de choquer le spectateur pour éveiller sa conscience, l'amener à réagir - comme le fait un Edward Bond3. La récurrence de certains thèmes

classe de terminale scientifique : les suites et les fonctions, la géométrie et les statistiques et probabilités. Dans chacune de ces parties, il s’agit de former les élèves à la démarche scientifique afin de les rendre capables de conduire un raisonnement. Le programme de terminale peut être abordé selon plusieurs angles, mais il ne faudrait surtout pas le concevoir comme une succession de chapitres cloisonnés. Il conviendra donc de concevoir, dès le début de l’année, une progression alternant

exp(ln ab) = ab exp(V) = exp(ln a + ln b) = exp(ln a) × exp(ln b) = ab on a alors exp(U) = exp(V), donc nécessairement U = V (l’exponentielle est bijective) Autrement dit : ln ab = ln a + ln b On démontre le second point à l’aide d’un raisonnement par récurrence. Théorème 12 Equation fonctionnelle caractéristique Si f est une fonction dérivable sur ]0; +∞[ telle que f (ab) = f (a) + f (b) et f (1) = 1, alors f est la fonction ln Démonstration : Soit f une telle fonction. On a alors : f (1 × a) =

un+1 = ( un + 1 ) − 1 . 5 1. a. Démontrer que u0 est divisible par 5. b. Démontrer, en utilisant la formule du binome de Newton, que pour tout entier naturel n, ( ( un+1 = un un4 + 5 un3 + 2un2 + 2un + 1 )). c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par 5 n+1 . 2. a. Vérifier que u3 = 2009250 − 1 puis en déduire que 2009250 ≡ 1[ 625 ] . b. Démontrer alors que 20098001 ≡ 2009 [ 625 ] . Partie C 1. En utilisant le théorème de Gauss et les

INSTITUT PREPARATOIRE AUX ETUDES D’INGENIEURS DE NABEUL Corrigé : Examen du Premier Trimestre Épreuve d’Analyse Fait le : 12-12-2011 Section : MP 1 point pour la cohérence du raisonnement, la clarté et la concision du développement. Problème N˚ :(12pt) 1 1. (1 .5pt)La continuité (0 .5pt) : – x → (x − 1) + 2 (x − 1) ln2 x = (x − 1) (x − 1) + 2 ln2 x = 0 est continue sur ]0, 1[ . – x → xx−1 − 1 = exp ((x − 1) ln x) − 1 est continue sur ]0, 1[ . D’où f est continue comme rapport et composé de fonctions