Raisonnement par récurrence

Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 1 2 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Table des matières Techniques de calculs, nombres complexes 1 2 3 4 5 6 Sommes de puissances de n entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence, résolution de systèmes, polynômes 7 8 9 10 12 13 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, fonctions trigonométriques Ceci n’est pas le triangle de Pascal . . . . . . .

permet d'affirmer que l'accroissement moyen S (t ) - S (t 0 ) 1 admet une limite en t0 égal à , la fonction S est donc dérivable à droite en t0. t - t0 t0 Cas 2 : t  t0. Un raisonnement analogue à ci-dessus montre que S est dérivable à gauche en t0. S'(t0) = Bilan : on a donc : 1 t0 Ce raisonnement étant valable pour tout réel t0 de [1, +¥[, on a donc pour tout x de [1, +¥[ : 1 S'(x) = x Considérons maintenant la fonction ¦ définie sur [1, +¥[ par : ¦(x) = S(x) - ln x La

de fournir les mobiles selon lesquels la volonté de l’être humain se détermine à l’action, en ce sens qu’il est social ; et ils donnent lieu au plaisir dans la sensation, à la vertu dans le sentiment, la beauté dans l’art, la vérité dans le raisonnement et l’amour dans le commerce avec le prochain. C’est pour­ quoi les hommes, même aux premiers balbutiements de la société, obser­ vent un certain ordre dans leurs paroles et leurs actes, distinct de celui des objets et impressions qu’ils représentent

Washington sur l'état de la recherche sur les réseaux de neurones aux USA • Réseaux de neurones – Imiter le fonctt du cerveau – Modèle biologique – Boite noire – Raisonnement implicite – Données brutes – Apprentissage – Caractéristiques infinies • Systèmes experts – Emuler les fonctions cérébrales – Langage naturel – Logique – Raisonnement explicite – Données pré traitées – connaissances figées – Caractéristiques limitées R.N. proche des sens naturels, traitement des infos capteurs fusion de données

triangle, coupé en son milieu, comme sur la figure de droite, est un triangle rectangle d'hypoténuse de longueur 1. Sa base est de longueur φ/2 car elle correspond à la demi-base du rectangle d'argent. On en déduit : \varphi=2\cos(36^\circ). Un raisonnement analogue s'applique au triangle d'or. Les côtés ont toujours une longueur 1, la base est en proportion d'or donc de longueur φ - 1. On en déduit que le cosinus de 72° est égal à (φ - 1)/2. À partir de ces valeurs et de différentes formules, il

rythme de la conversation est rapide : les phrases sont courtes, juxtaposées (« Parlez plus distinctement. Je ne comprends pas. Vous articulez mal. ») voire inachevées et marquées par des points de suspension, auquel cas elles ne présentent que des raisonnements incomplets : en effet, Bérenger tente vainement d'argumenter (« Car, vous le savez aussi bien que moi, l'homme... », ou encore « Je veux dire l'être humain, l'humanisme… » et « Enfin, tout de même, l'esprit... »), aussitôt interrompu par son interlocuteur

n−k n (a + b)n = k=0 a b pour tout a , b ∈ R et n ∈ N∗ k n ! = 1 · 2 · 3 · · · n pour tout n ∈ N∗ et 0 ! = 1 n k = n! k ! (n − k) ! Table des matières Chapitre 1. Bases 1. Premières définitions et rappels 1.1. Les ensembles 1.2. Le raisonnement par récurrence 1.3. Les nombres réels 1.4. Valeur absolue 1.5. Partie entière 1.6. Les intervalles 1.7. Racine n-ième d’un nombre réel 1.8. Equations du second degré 2. Exercices 1 1 1 1 2 3 3 3 4 4 5 Chapitre 2. Nombres complexes 1. Définitions et premières

convergent toutes deux vers 1. Le résultat découle donc maintenant immédiatement de la proposition 22.23. Méthode De deux à un nombre fini Nous avons énoncé des résultats valables pour des opérations sur des couples de suites. On obtient par une récurrence immédiate des résultats analogues pour des opérations sur un nombre fini de suites. Par exemple, le produit de m suites convergentes converge vers le produit de leurs limites. Test 22.9. Soit (un)n≥0 une suite convergente. Les propriétés suivantes

[A ⇐⇒ B] 1.3 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . 1.6 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . 1.8 Bornes supérieures et bornes inférieures dans R. . 1.9 Exercices sur le chapitre 1 . . . . . . . . . . . . 1.10 Corrigé des exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . Suites et Séries Numériques 2.1 Suites numériques

naturel n, A n+1 = f (A n ). 1. a. Étant donné un point M d’affixe z, déterminer en fonction de z l’affixe z ′ du point M ′ image de M par f . 1 b. Construire les points A0 , A1 , A2 et A3 dans le cas particulier où k est égal à . 2 a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l’affixe z n du point A n est égale à inπ kne 3 . → − b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point A n appartient à la demi droite O ; u et, dans ce cas, déterminer en fonction de k et de n l’abscisse de A n .