Relation de Chasles

et C’. Soit H le point du plan tel que (1). En introduisant le point A à l’aide de la relation de Chasles dans la relation (1), démontrer que . 5. De la même manière, démontrer que et que . 6. Montrer que le point H appartient aux trois hauteurs du triangle ABC. 7. Que représente alors le point H pour le triangle ABC ? 8. En introduisant un point à l’aide de la relation de Chasles dans la relation (1), démontrer que . Qu’en déduire quant au point O, H et G ? Exercice 20 : Soit un

Relation de Chasles. Les points A et C étant donnés, pour tout point B, on a la relation : Ce qui est important pour cette relation de Chasles, c’est que le deuxième point du premier vecteur (ici B) soit le même que le premier point du second vecteur. Translation

Commentaires : 1) Utiliser la loi d’optique et la relation de Chasles. 2) C’est du cours ! 3) Consid´erer le triangle IJM . 4) S’inspirer de la question 1). 5) Utiliser les r´esultats des questions pr´ec´edentes. − → −→ 6) Que doit valoir (SI, JR) ? Que peut-on dire de deux mesures d’un mˆeme angle ? 7) Deux cas sont possibles. Corrections. −−→ − → − → − → 1) On applique la loi d’optique au miroir de face [AM ] : (IM , IJ) = (IS, IA) = b. D’apr`es la relation de Charles, −−→ − → (IM , IA) π −−→ − → −

parallélogramme Pour déterminer la somme de deux vecteurs et de même origine A, il suffit de tracer le point D tel que ABDC soit un parallélogramme. Le vecteur somme est alors le vecteur . Illustration : A reprendre sur la vidéo Propriété : Relation de Chasles (admise) Pour tous points du plan A, B et C ; la sommé de deux vecteurs l’origine de l’autre) est le vecteur et (dont l’extrémité de l’un et Exemples : Réduire les expressions ci-dessous : a. : à compléter grâce à la vidéo b. : à compléter

Notez que le vecteur v est placé « au bout » du vecteur u , c’est à dire que l’origine du vecteur v est l’extrémité du vecteur u . Relation de Chasles : Soient A, B et C trois points du plan. Nous avons : AB + BC = AC Il est né en 1793 dans la ville d'Épernon ( Eure-et-Loir ), située non loin de Chartres. Après des études secondaires brillantes, Chasles entre à l'École polytechnique en 1812. Il y devient professeur en 1841. En 1846, une chaire de géométrie supérieure est créée pour lui

. . . 4 4 Longueurs égales mais vecteurs non égaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Coordonnées d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 Somme de deux vecteurs de même origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8 Multiplication d’un vecteur par un réel

Connaissances → → → → En utilisant uniquement la relation de Chasles, exprimer ( − v ; u ) en fonction de ( u ; v ). D’une part : D’autre part : D’où Finalement : ( − v ; u ) =( − v ; v )+( v ; u ) =π+(v; u )[2π] ( v ; u )+( u ; v ) =( v ;v ) =0[2π] ( v ;u )= −( u ;v )[2π] ( − v ; u )=−( u ;v )+π [2π] → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → d’après la relation de Chasles d’après la relation de Chasles Exercice 4. a. → → ABC est un triangle

coefficient directeur (m) de D avec la formule : On détermine l’ordonnée à l’origine (p) en utilisant par exemple les coordonnées du point A : Les vecteurs Relation de Chasles. Les points A et C étant donnés, pour tout point B, on a la relation :                                           Ce qui est important pour cette relation de Chasles, c’est que le deuxième point du premier vecteur (ici B) soit le même que le premier point du second vecteur. Translation. Le point M’ est l’image du point

AB=A'B'  . BA= B'A' B Le vecteur  est appelé vecteur nul, on note  0 . AA AA= 2. Addition de deux vecteurs    v Quels que soient les vecteurs u et v on peut définir un vecteur noté u  en utilisant la relation de Chasles ou la règle du parallélogramme. a) Relation de Chasles B Quels que soient les points A, B et C ,    . AB BC=AC C A b) Règle du parallélogramme B D Soient A, B, C et D 4 points.    signifie que ABDC est un parallélogramme. ABAC=AD C c) Vecteurs opposés  u

utilisant la relation de Chasles que : (1) - = + = Ce qu'il fallait démontrer. II°- Soit un carré ABCD - Répondez sur la figure ci-dessous. (4 points) 1°) Construire le point R tel que . (1) 2°) Construire le point S tel que . (1) 3°) Construire le point T tel que . (1) R T S III°- (5 points) Répondez sur votre copie. [AB] est un segment de longueur 5 cm. On se propose de construire le point M tel que : = 1°) Démontrez en utilisant la relation de Chasles, que