Série temporelle

On considère la série de fonctions numériques de la variable réelle x, de terme général un (x) = a) Etudier la convergence de cette série. On définit la fonction f : R → R par : +∞ pour tout réel x, f(x) = n=1 cos(nx) . n2 b) Montrer que f est continue sur R, paire et 2π-périodique. π c) Calculer l’intégrale : I = 0 f(x) dx. π d) Calculer, pour p ∈ N∗ , l’intégrale Ip : 0 +∞ f(x) cos(px) dx. e) La série cos(nx) est-elle le développement en série de Fourier de f

suivant. Théorème 26.1 Une série à termes positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est majorée. En cas de divergence, on a lim Sn = +∞. n→+∞ Dans le cas des séries à termes positifs, on écrira un < +∞ pour signifier que cette dernière converge. Cette notation étant justifiée par les considérations précédentes. En cas de divergence, on a un = +∞. 26.2 Les séries de Riemann Théorème 26.2 Soit α un réel. La série de Riemann si α > 1. 1

On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le n terme général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée l’ensemble ; an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche     x∈R: ∆=   ∞ n=0     . an xn converge   C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ xn . n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert ; Posons fn (x) = n! fn+1 (x) x lim = 0. La série entière est

est appelée série de terme général un . (Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général un est notée 1.2 un Convergence   ou  n≥0   un . Définition 1.2.1 Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn )n est appelée somme de la série et on note : +∞ lim Sn = n→+∞ un n=0 Une série qui n’est pas

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons

continu. Dans ce dernier cas, la somme discrète écrite ci-dessus doit être remplacée par une intégrale en ω, ce qui ne change rien sur le fond. Appliquée aux amplitudes ondulatoires, fonctions de r et de t, donc de quatre variables, la décomposition en série de Fourier conduit à exprimer l'amplitude d'une onde quelconque comme une somme d'ondes harmoniques « élémentaires », caractérisées chacune par un ensemble de quatre taux de variation (en t, x, y et z), et donc par une phase de type : t kx x kyy kz

condition initiale, (1) (2) (3) où désigne une fonction définie sur l’intervalle [0, ] . Dans la suite on prendra comme condition initiale la fonction définie par ( )= La variable est la variable d’espace, − 0 ≤ ≤ /2 /2 ≤ ≤ . (4) est la variable temporelle. 1 Un problème aux valeurs propres On cherche ici à déterminer les valeurs de (valeurs propres) pour lesquelles il existe une solution non nulle de l’équation différentielle ordinaire ′′ + = 0 sur [0, ] (0) = ( ) = 0. (5) (6)

_______________________________________ 3 1.1. Notion du signal______________________________________________ 3 1.2. Rappels sur les séries et les transformées de Fourier_______________ 1.2.1 Introduction_________________________________________________ 1.2.2 Série de Fourier _____________________________________________ 1.2.3 Transformée de Fourier _______________________________________ 1.2.4 Propriétés de la transformée de Fourier ___________________________ 4 4 4 6 7 1.3. Notion de largeur de bande et l’énergie

......................................................................................................7 Spectre discret (méthode n°2):..........................................................................................................8 Lien série-transformée:.....................................................................................................................8 Cas particulier des sinusoïdes: ....................................................................................

Anime Un anime (アニメ), également appelé parfois japanime ou japanimation, désigne une série ou un film d'animation en provenance du Japon. C'est le diminutif du mot animēshon (アニメーション), lui-même transcription de l'anglais « animation ». Alors que les toutes premières animations japonaises connues datent de 1917 et qu'un bon nombre de dessins-animés originaux sont produits durant les décennies suivantes, la caractéristique et le style anime se développent durant les années 1960 (notamment grâce