Similitude

Exercices similitudes corrigés EXERCICE N°1     Dans le plan orienté ABI est un triangle équilatérale tel que : ( AB, AI ) 3 2 .Soit Ω le symétrique de B par rapport à (AI) 1ab23abc- Soit R la rotation d’angle qui transforme A en I 3 Montrer que Ω est le centre de R Soit C = R(B).Montrer que I est le milieu de du segment [AC] A tout point M de [AB] distinct de A et de B,on associe le point M’ de [IC] tel que AM = IM’.Montrer que le triangle ΩMM’ est équilatéral

2 heures Exercice 1 :(2 points) Soit f l’application du plan dans lui-même qui au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que Répondre par Vrai ou Faux en justifiant. a) f est une similitude directe . b) Pour , f est une translation de vecteur d’affixe i. c) Pour , f est une similitude directe de centre ,de rapport et d’angle . Exercice 2 :( 5 points ) 1) On considère les entiers a = 2 -14n +2 et b = n + 3 où n un entier naturel. a) Montrer que le pgcd ( a, b) = pgcd ( b, 10)

points d’affixes respectives zA = 2 + i, zB = 5 + 2i et zC = i. s1 désigne la symétrie d’axe (AB). a. Démontrer que s1 transforme tout point M d’affixe z en un point M’ d’affixe z telle que z = 4 3 1 3 + i z+ − + i 5 5 5 5 La symétrie d’axe (AB) est une similitude indirecte dont l’écriture complexe est de la forme z = az + b. Elle laisse invariant la droite (AB), et en particulier les points A et B, ce qui permet d’obtenir le système d’équations : 2 + i = a2 + i + b zA = azA + b ⇐⇒ zB = azB + b 5 + 2i = a5

GÉOMÉTRIE ET NOMBRES COMPLEXES 1. * Soit t un réel. z1 et z2 sont les racines complexes de l’équation z2 + tz + 1 = 0. Quel est le lieu des images de z1 et z2 lorsque t décrit  ? 2. * Soit z un nombre complexe distinct de –1, 0 et 1. Les points A, A’, M, M’ et P ont respectivement pour affixe 1, –1, z, 1z et . Démontrer que la droite (MM’) est bissectrice de l’angle . 3. * Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que les points d’affixe j, z et jz soient alignés. 4. * Soit

On constate que les deux points sont invariants. b) On reconnait l’expression complexe d’une similitude indirecte de rapport 1. Du fait de l’invariance des points A et x on déduit qu’il s’agit de la réflexion d’axe (Ax ), c’est-à-dire la droite d’équation x = 1. c) L’image d’un cercle par une similitude est un cercle de centre l’image du centre et de rayon le rayon multiplié par le rapport de la similitude (qui ici vaut 1). L’image de O a pour affixe 2. L’image du cercle (B) par T est donc le cercle

+ zD = 2zD + 1 = 2 × i i 2 i 2 + 1 = 3 − i = zF . + 1 = 3 + i = zG . + 1 = 1 + i = zH . 2 L’image de S 1 par h est donc S 2 . 3. g = h −1 ◦ s. a. La similitude s transformant le carré de côté 1 en le carré de côté 2, le rapport de la similitude estégal à 2. b. h −1 est l’homothétie de centre Ω de rapport ; la composée g est donc 2 une similitude directe de rapport 1, donc une isométrie. S 1 a pour image par s S 2 qui lui-même a pour image par h −1 , S 1 . Conclusion g laisse S 1 globalement invariante

4Math1 DUREE : 2 heures EXERCICE 1 (8 points )     On donne dans le plan orienté P un triangle ABC rectangle en A et tel que  BC, BA     2  6 On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC]. 1/ Soit S la similitude directe qui envoie A sur B et C sur A. a) Déterminer le rapport et l’angle de S. Prouver que le centre de S est le projeté orthogonal H de A sur (BC). b) La parallèle à (AC) menée de B coupe (JH) en D. Déterminer S ( J ) et montrer que S ( I ) 

p et q, les affixes respectives des points M, N, P et Q. 1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R. a) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude f. b) On désigne par r l'affixe du point R. Démontrer que r = \frac{1 + i}{2}m + \frac{1 - i}{2}n, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \frac{\pi}{2} (on pourra éventuellement utiliser l'écriture complexe de la similitude f). On admettra que l'on a également les résultats s = \frac{1 + i}{2}n

triangle OA0 B0 , puis construire les points A1 , B1 , A2 , B2 , A3 , B3 . e 2. (a) D´monstration de cours. D´montrer qu’il existe une similitude directe et une e e seule qui transforme A0 en A1 et B0 en B1 . (b) Soit s cette similitude : pr´ciser son angle et son rapport, puis v´rifier que son centre e e est O. D´montrer que, pour tout entier naturel n, la similitude s transforme An en e An+1 et Bn en Bn+1 . e 3. (a) D´montrer que les points O, An et Ap sont align´s si et seulement si les entiers n

graphique 1 cm, on considère les points A0, A1 et A2 d'affixes respectives z0 = 5 − 4i, z1 = −1 − 4i et z2 = −4 − i. 1. a. Justifier l'existence d'une unique similitude directe S telle que : S(A0) = A1 et S(A1) = A2 b. Établir que l'écriture complexe de S est : 1− i −3 + i z+ 2 2 c. En déduire le rapport, l'angle et l'affixe ω du centre Ω de la similitude S. z' = d. On considère un point M, d'affixe z avec z ≠ 0, et son image M' = S(M) d'affixe z'. Vérifier la relation ω − z' = i(z − z'). En déduire la