Simplexe

( Problèmes liés à la recherche opérationnelle : ((( ( problèmes dits combinatoires : - outils et méthodes employées : algorithmes fondés sur la théorie des graphes, algèbre boole (théorie des ensembles), calcul matriciel, algorithme du simplexe. - applications concrètes : ordonnancement de projets, chemins optimaux, gestion de flux, problèmes de transport, organisation des tournées pour un VRP. ((( ( problèmes aléatoires (stochastiques) : décision en avenir incertain : -

problèmes d'optimisation en production. Les méthodes algorithmiques [CHARON 96] : La programmation linéaire [SAKAROVITCH 84, page 117] permet de déterminer l'optimum d'une fonction linéaire tout en respectant des contraintes linéaires. L'algorithme du Simplexe a été développé en 1947 par G.B. Dantzig pour résoudre ce type de problème. Par la suite, cet algorithme a été perfectionné pour pouvoir être adapté à sa programmation informatique. On trouve ainsi une forme matricielle de cet algorithme qui permet

l’informatique. Problèmes liés à la recherche opérationnelle : problèmes dits combinatoires : - outils et méthodes employées : algorithmes fondés sur la théorie des graphes, algèbre boole (théorie des ensembles), calcul matriciel, algorithme du simplexe. - applications concrètes : ordonnancement de projets, chemins optimaux, gestion de flux, problèmes de transport, organisation des tournées pour un VRP. problèmes aléatoires (stochastiques) : décision en avenir incertain : - outils et méthodes

– coûts variables Les contraintes de production peuvent être selon les cas : les heures de main d’œuvre disponibles, les heures de machine disponibles, les quantités de matières et de composants en stocks... Il existe 2 méthodes : La méthode du simplexe ou programmation linéaire (non abordé) La méthode empirique des facteurs rares B. La méthode des facteurs rares Démarche : Déterminer le facteur rare : facteur de production dont l’insuffisance limite la production Déterminer la MCV unitaire de

( Problèmes liés à la recherche opérationnelle : ((( ( problèmes dits combinatoires : - outils et méthodes employées : algorithmes fondés sur la théorie des graphes, algèbre boole (théorie des ensembles), calcul matriciel, algorithme du simplexe. - applications concrètes : ordonnancement de projets, chemins optimaux, gestion de flux, problèmes de transport, organisation des tournées pour un VRP. ((( ( problèmes aléatoires (stochastiques) : décision en avenir incertain : -

de résoudre de manière rapide et efficace les systèmes linéaires. Elle est utilisée par les ordinateurs car elle est de loin la plus performante. C’est aussi celle qu’on utilise en programmation linéaire et qui porte alors le nom de « méthode du simplexe ». On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant: [pic] Dans ce système les inconnues sont notées x, y, z, et les aij représentent des coefficients réels. On remarquera que le premier indice dans aij

méthode des éléments finis. * Programmation linéaire: Eléments de l'analyse convexe généralités su la programmation convexeprogrammation linéaire: problème général- dualité- terminologie interprétation géométriquethéorèmes fondamentaux -méthode de simplexe. * Méthodes de minimisation dimensionnelle: Méthode des tangentes. Résolution des problèmes d'extremum à l'aide des méthodes de relaxation: Méthodes de minimisation- méthode de descente méthodes du gradientProblèmes d'extremum avec contrainte. III-

les présente cidessous avec des exemples de résolution d'un programme linéaire. 3.1 Librairie CLP Basiquement la librairie CLP (pour COINOR Linear Programming) permet de résoudre des programmes linéaires en nombres fractionnaires (algorithme simplexe ou point interieur). Cela est fait dans une approche orientée objet (langage C++). Ainsi une des classes centrales de l'utilisation de CLP est ClpSimplex qui dérive de ClpModel, permet de modéliser un programme linéaire et de le résoudre assez

multiplication par un scalaire sont continues). 1.1 1.1.1 D´finition et le th´or`me fondamental e e e D´finition e D´finition 1.1.1 – C ⊂ E est convexe si e ∀x, y ∈ C, ∀α ∈]0, 1[, αx + (1 − α)y ∈ C. Exemples (faciles) : – sous-espace affine ; k – simplexe de Rk : ∆k = {α ∈ (R+ )k , – Les convexes de R sont les intervalles. i=1 αi = 1} ; Remarque 1.1.1 – une intersection quelconque de convexes est convexe ; – la somme de Minkowski de deux convexes A et B, d´finie par e A + B = {a + b, a ∈ A,

................................................................. 1117 I.4 Résolution d’un programme linéaire par l’algorithme du simplexe ........................................................................................ 1117 I.4.1 I.4.2 I.4.3 I.4.4 Problème de maximisation avec contraintes du type Extensions de l’algorithme du simplexe ....................................................... 1122 Cas particuliers ..........................................................