Simplexe

générer des matrices stochastiques aléatoires, P=matrix(0,n,n) for(i in 1:n){ s=c(0,sort(runif(n-1)),1) p=s[2:(n+1)]-s[1:(n)] P[i,]=p} En eefet, la ligne de code s=c(0,sort(runif(n-1)),1); p=s[2:(n+1)]-s[1:(n)] permet de tirer au hasard un point du simplexe en dimension n, c’est à dire une mesure de probabilité sur {1, 2, ..., n}. Les figures4 ?? suivantes montrent les probabilités des matrices P, P 2 , P 5 et P 1 0. 9.1.2 Dans le cas où E est dénombrable, mais non-fini, une condition suffisante n’est

l’ensemble des solutions optimales contient au moins un sommet de K. Méthode du simplexe La méthode du simplexe est due à George Dantzig (1947). Son principe consiste à construire une suite de sommets {xk } telle que, à chaque étape, on ait J(xk+1 ) ≤ J(xk ). Le nombre de sommets d’un polyèdre étant fini, l’algorithme doit normalement converger en un nombre fini d’étapes. Avant de formaliser l’algorithme du simplexe, on va voir sa mise en œuvre sur un exemple simple. 57 2. Optimisation et LMI

l’usine i :” 10 xij ≤ CAPi j=1 o`u CAPi note la capacit´e de l’usine i. – “Satisfaire la demande du client j :” 3 xij = DEMj i=1 o`u DEMj note la demande du client j. La solution optimale peut eˆ tre trouv´ee par l’algorithme du Simplexe puisqu’il s’agit d’un probl`eme purement lin´eaire. Examinons maintenant le probl`eme de la localisation d’une nouvelle usine. Supposons que l’usine C doive eˆ tre remplac´ee. Les alternatives possibles sont : 1. Accroˆıtre l’usine B a` 6 millions

cartésienne du graphe de la solution maximale du problème de Cauchy P(x, y) dy =− , y(x0 ) = y0 dx Q(x, y) lorsque (x0 , y0 ) est un point de U où Q ne s’annule pas ? E XERCICE I.11 (la formule de Stokes dans R2 pour un simplexe « tordu » positivement orienté). Soit ∆0 le simplexe ∆0 := {(t, s) ∈ R2 ; t ≥ 0, s ≥ 0,t + s ≤ 1} et Φ = (ϕ, ψ) une application de classe C2 au voisinage de ∆0 , à valeurs dans R2 , telle que dΦ(t, s) soit inversible en tout point de ∆0 et de jacobien strictement positif

Problèmes liés à la recherche opérationnelle : ((( ( Problèmes dits combinatoires : Outils et méthodes employées : algorithmes fondés sur la théorie des graphes, algèbre Boole (théorie des ensembles), calcul matriciel, algorithme du simplexe. Applications concrètes : ordonnancement de projets, chemins optimaux, gestion de flux, problèmes de transport, organisation des tournées pour un VRP. Problèmes aléatoires (stochastiques) : décision en avenir incertain : outils et

le recours linformatique. Problmes lis la recherche oprationnelle ((( ( Problmes dits combinatoires Outils et mthodes employes algorithmes fonds sur la thorie des graphes, algbre Boole (thorie des ensembles), calcul matriciel, algorithme du simplexe. Applications concrtes ordonnancement de projets, chemins optimaux, gestion de flux, problmes de transport, organisation des tournes pour un VRP. Problmes alatoires (stochastiques) dcision en avenir incertain outils et mthodes employes statistiques

les contraintes d’engagement : Min ∑P x n =1 N n n = txP Sc. ∑ CF n =1 N t ,n .xn ≥ L t ∀ t ∈ [1, T ] ; x i ≥ 0 ∀i ∈ [1, N ] Pour résoudre numériquement ce programme linéaire, nous pouvons utiliser l’algorithme du simplexe de George Dantzig [1947]. 1.3.2.2. L’ Inflation Indexed Cash Flow Matching par la titrisation Les swaps zéro-coupon indexés inflation permettent de construire des solutions Cash Flow Matching pour des échéanciers d’engagement revalorisés de l’inflation

(définition, caractérisation) • Extrema d'une fonction de plusieurs variables (existence, unicité, caractérisation) • Extrema sous contraintes (Lagrangien, conditions Karush-Kuhn-Tucker) • Fonctions et contraintes linéaires : algorithme du simplexe Compétences Connaître les fondements théoriques des méthodes de recherche d'extrema. Savoir poser et résoudre des problèmes d'optimisation simples rencontrés en statistique ou en sciences humaines 107 Semestre 6 mase – UE1-4 : Informatique

optimiser l’utilisation de plusieurs ressources rares. Lorsque le choix de production se limite à 2 produits, il est possible de résoudre le problème graphiquement, sinon il faut faire appel à la programmation linéaire ou au calcul matriciel (méthode du simplexe). Ainsi, on présente les contraintes sous forme d’équations que l’on peut représenter graphiquement : 3 S + 2 C < 300 (contrainte atelier découpe) 5 S + 5 C < 500 (contrainte atelier montage) 4 S + 1 C < 200 (contrainte atelier finition) Le polygone

l’algorithme du simplexe. Faire une analyse de la sensibilité. Mots-clés Graphe, Programme, Linéaire, Système, Simplexe, Dual, Sensibilité, Connexité, etc. Pré-requis Mathématiques 1 et Mathématiques 2. Eléments de Contenu Notion de graphe : nœud, arc, etc. Notion de chemin, chemin critique, etc. Graphe fortement connexe, cycle, etc. Introduction à la programmation linéaire : Résolution graphique d’un programme linéaire à 2 variables de décisions. Algorithme du Simplexe. Analyse de la