Sous-espace vectoriel

un rep` re orthonorm´ cart´ sien not´ R = (O, x, y, z) selon la convention de e e e e Gibbs. La position d’un point M est donn´ e par un triplet de coordonn´ es. On choisit e e par commodit´ de repr´ senter ces coordonn´ es par un vecteur m de R3 , sous la forme e e e d’une matrice colonne :   mx m =  my  . mz Le mouvement du point est la courbe param´ tr´ e m(t) de R3 donnant sa position au e e cours du temps. Le support du mouvement (la courbe non param´ tr´ e) est la trajectoire e e du point

polynomiale homogène sur R3 de degré N , x1 ∂f ∂f ∂f + x2 + x3 =Nf . ∂x1 ∂x2 ∂x3 8. On désigne par FN l’espace vectoriel des polynômes homogènes sur R3 de degré N . Trouver la dimension de FN . ∂2 ∂2 ∂2 + 2 + 2 le laplacien sur les fonctions sur R3 . Une fonction f de classe ∂x2 ∂x2 ∂x3 1 2 sur R3 telle que ∆f = 0 est appelée harmonique. Soit C 9. Soit ∆ = HN = {f ∈ FN | ∆f = 0} l’espace vectoriel réel des polynômes homogènes harmoniques sur R3 de degré N . On se propose de déterminer la dimension de HN

1) Interpréter les sorties suivantes 2) Lors de la séance précédente nous avons analysé le nuage de points individus dans l'espace des variables. Réécrire le programme IML sous SAS afin d'obtenir les informations suivantes : - la matrice de dispersion des individus V - les valeurs propres et les vecteurs propres associés à cette matrice V - les coordonnées des projections des variables sur le plan factoriel 3) Quelle est l'inertie totale (la dispersion) du nuage des points variables dans l'espace

définie sur Ë par f( x)=ax 2+ bx+ c où les coefficients b et c sont des réels quelconques et a est un réel non nul. Vocabulaire : • Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée trinôme. • Lorsque f( x) est écrit sous la forme f( x)=ax 2+ bx+ c, on dit que f( x) est sous forme réduite. Exemples : • f : x → 5x 2−2x+1 est une fonction polynôme du second degré. • Soit g : x → (2x+1)( x+1). Pour tout x de Ë, g( x)=(2x+1)( x+1)=2x 2+3x+1. Donc g est une fonction polynôme du second degré. La

Centrale PSI 2 un corrig´ e Remarque pr´liminaire. e Mp (K) est un espace de dimension finie o` toutes les normes sont ´quivalentes. Si (An ) est une suite u e d’´l´ments de Mp (K), on n’a as besoin de pr´ciser la norme quand on parle de convergence de (An ). ee e En particulier, si on choisit la “norme infinie relative ` la base canonique”, la convergence ´quivaut ` a e a la convergence coordonn´e par coordonn´e. e e 1 Question pr´liminaire. e z a b A. Soit z = 1 + n ; on a |z |2 = 1 + n +

Département de mathématiques L1S2 : physique – chimie Année 2007–2008 Algèbre linéaire Cours magistral no 1 Chapitre 1 – Structure d’espace vectoriel 1 Définition et représentation de Rn Si n ∈ N∗ , on note Rn l’ensemble des suites ordonnées de n nombres réels. Une telle suite est appelée n-uplet1 réel. La suite des nombres réels x1 , x2 ,..., xn est le n-uplet réel noté (x1 , x2 , . . . , xn ). Les nombres x1 , x2 ,..., xn sont appelées les coordonnées du nuplet réel (x1 , x2 , . . . , xn

n + 1 et dim Ker ∆n = dim E0 = 1. Donc : rg ∆n = dim Im ∆n = n = k=1 ak i=0 = an n xn−1 + an n−1 n−2 i=0 n i x + i n−1 k−1 ak k=1 i=0 k i x i D’apr`s la question 1.a.i, Im ∆n ⊂ En−1 . Comme ces deux espaces vectoriels e sont de mˆme dimension, on en d´duit qu’ils sont ´gaux. En conclusion : e e e Im ∆n = En−1 =nan =0 deg n−2 2. (a) i. Soit k 1. Alors : ∀x ∈ R ∆ (Nk ) (x) Nk (x + 1) − Nk (x) (x + 1) x (x − 1) · · · (x − k + 2) x (x − 1) · ·

f admet des dérivées partielles premières en (0, 0) que l'on déterminera. 2. Démontrer que la fonction f est diérentiable en (0, 0). EXERCICE 2 1. Rappeler la dénition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé. 2. Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application continue de E dans F . Si A est une partie compacte de E , démontrer que f (A) est une partie compacte de F . L'image réciproque par f d'une partie compacte de F est-elle nécessairement une

Evaluation N°: 6 Thème: Durée (en min): 50 Droites Sujet: C Note Classe: Nom: Prénom: Toutes les réponses aux questions doivent être justifiées. Les valeurs numériques seront laissées sous forme de fractions. Exercice 1 : ( 4 points ) 1. Tracer dans le repère ci-contre, la droite d'équation y = 0,5 x - 2 2. Déterminer par lecture graphique une équation de la droite D présentée dans le graphique ci-contre. Exercice 2 : ( 5 points ) 1. Déterminer une équation de la droite d1 passant par

representative de l’application f dans la base canonique. 3. Trouver une nouvelle base B tel que, après changement de coordonnées, f s’écrit sous la forme x1 x1 → x2 2x2 . 4. Trouver une matrice inversible P à deux colonnes et deux lignes, telle que M = P DP −1 , où D est une matrice diagonale. 5. Calculer pour tout n ∈ N la valeur de M n . 6. Soit n ∈ N. Écrire sous la forme x1 x2 an x 1 + b n x 2 cn x2 + dn x3 → l’expression de l’application linéaire R2 → R2 x1 x2 → (f ◦ · · · ◦ f ) x1 x2 où f