Sous-espace vectoriel

MIMA40 C.Hassenforder Chapitre 4 TRANSFORMATION DE FOURIER Sous des hypoth`ses assez g´n´rales, la transformation de Fourier permet d’exprimer une e e e fonction comme superposition “continue” d’exponentielles complexes e2iπνx ν∈IR g´n´ralisant e e ainsi l’expression en s´rie de Fourier d’une fonction p´riodique. La transformation de Fourier e e sera d´finie pour les fonctions de L1 (IR), puis de S(IR) et enfin par prolongement de cet espace e a ` L2(IR), qui repr´sente l’espace des signaux d’´nergie

PAGEREF _Toc368477577 \h 3II.3 Palette de couleurs PAGEREF _Toc368477578 \h 3II.4 Poids d’une image PAGEREF _Toc368477579 \h 3III Types d’images PAGEREF _Toc368477580 \h 4III.1 Les images pixellisées PAGEREF _Toc368477581 \h 4III.2 les images vectorielles: PAGEREF _Toc368477582 \h 4III.3 Avantages et inconvénients PAGEREF _Toc368477583 \h 4IV Les formats PAGEREF _Toc368477584 \h 5IV.1 PNG Portable Network Graphics (extension .png) PAGEREF _Toc368477585 \h 5IV.2 GIF Compuserve Graphics (extension

OPÉRATEURS LINÉAIRES 27 2.1 Types d’opérateurs linéaires 27 2.2 Vecteurs et valeurs propres 34 2.3 Matrice d’un opérateur 37 2.4 Espaces de Hilbert 42 EXERCICES 46 CHAPITRE 3 • FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 51 3.1 Réalisations des fonctions d’onde 51 3.2 Espace des états quantiques 55 IV Table des matières 3.3 Système complet d’observables qui commutent 63 3.4 Postulats de la mécanique quantique 66

mesurables . . . . . 4.3 Produit de mesures . . . . . . . . . . 4.4 La formule de changement de variable 4.5 Le produit de convolution . . . . . . . Les espaces Lp 5.1 Les d´ finitions . . . . . . . . . . . . e 5.2 Les espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ ∞ . . 5.3 L’espace L2 et les espaces de Hilbert 5.4 Le th´ or` me de Radon-Nikodym . . e e 5.5 La dualit´ des espaces Lp . . . . . . e La transform´ e de Fourier e 6.1 D´ finition et propri´ t´ s el´ mentaires e ee ´e 6.2 Injectivit´ et formule d’inversion . . e 6.3

0 , x2 ) ; x2∈ℝ } . Montrer qu’ils constituent des espaces vectoriels. Solution 1 : Rappelons d'abord que E1 et E 2 sont des sous-ensembles de ℝ et que les lois de composition interne et externe ne sont que les lois habituelles + et × . Nous savons déjà que ( ℝ2 ,+, × ) est un espace vectoriel. Nous n'avons donc pas besoin de vérifier toutes les propriétés (8 propriétés) d'un E.V., mais seulement la stabilité des 2 sous-ensembles pour les deux lois. 1. On vérifie premièrement

par rapport auquel l'inertie du nuage est au minimum. On peut aussi dire que le centre de gravité est le meilleur représentant du nuage puisque Ia > Ig. 2.2.1 Inertie par rapport à un axe passant par l'origine Quand il s'agit de représentation vectorielle, on considère très souvent comme confondus l'origine O de l'espace et le centre de gravité g. Soit donc un axe ∆ passant par O. On appelle inertie par rapport à ∆ la quantité: Si nous appelons Proj∆(Xi) la projection orthogonale de Xi sur l'axe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Modélisation vectorielle des MOCN [LEFUR 96] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.1. Points utilisés pour modéliser la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.2. Vecteurs caractéristiques des éléments de la MOCN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.3. Equation vectorielle utilisée en usinage à commande numérique . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.4. Remarques

pour tout entier k supérieur ou égal à 3, on a : A k = 0. 4) On note CN (respectivement CA) l’ensemble des matrices de M 3(IR) qui commutent avec N (respectivement A). a) Montrer que CN est un sous-espace vectoriel de M 3(IR) et que CN = vect (I, N, N 2). On admet que CA est aussi un sous-espace vectoriel de M 3(IR). b) Établir que : M∈CA ⇔ P –1M P∈CN . En déduire que CA = vect (I, A, A 2). Quelle est la dimension de CA ? 1 Exercice 2 1 1   2(1 − x ) 2 si x ∈[ 0, 2 [  1  1 On considère la

autres types de documents : images vectorielles† et maquette de montage) d’enregistrer sous un nom différent très fréquemment, afin de pouvoir revenir en arrière. À la fin du travail sur l’image en question, fusionner les calques puis la convertir en CMJN avant de l’importer sous son nom définitif dans la maquette InDesign, sous le format TIFF† si elle n’est pas transparente (.tif – avec éventuellement la com.tif pression LZW, si les bords de l’image ne sont pas blancs), sous le format natif Photoshop (.psd)

= P (x, y)dx + Q(x, y)dy avec P et Q des fonctions continues a` valeurs dans C I. L’int´egrale de ω sur le chemin de classe C 1 est donn´ee par la formule : b ω= γ [P (x(t), y(t)) x (t) + Q (x(t), y(t)) y (t)] dt. a Th´ eor` eme de Green-Riemann Sous les hypoth`eses suivantes : – Ω ouvert de IR2 , – w = P dx + Qdy une forme diff´erentielle de classe C 1 (Ω) (P et Q sont C 1 ), – K un compact ”simple” de Ω et γ + le bord de K orient´e dans le sens positif, la formule de Green-Riemann est donn´ee