Sous-suite

On considère la suite numérique u définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n : 1 un+1 = un + n − 1. 3 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par : vn = 4un − 6n + 15. 1. Montrer que v est une suite géométrique. 2. Calculer v0 puis vn en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, un = 19 1 6n - 15 × n+ . 4 3 4 3. Déterminer la limite de la suite u. 4. Montrer que u peut s’écrire sous la forme u = t + w où t est une suite géométrique et w une suite arithmétique. 5

G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 1 21 21 Mesures 1.1 Tribus Dans la suite Ω d´signe un ensemble. e D´finition 1 Un sous ensemble C de P(Ω) est une alg`bre (de Boole) sur Ω si e e 1. Ω ∈ C 2. C est stable par compl´mentaire. e 3. C est stable par r´union finie. e D´finition 2 Un sous ensemble A de P(Ω) est une tribu ( ou σ-alg`bre) sur Ω si e e 1. Ω ∈ A 2. A est stable par compl´mentaire. e 3. A est stable par r´union

Exercice 2 On considère la suite numérique u définie par ua = 1 et pour tout entier naturel n : 1 u,,+]=3u" +n-1 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par: = 12 et N* : U,,+[= 1.) Pour tout un+2v" 3 N*, on pose: w" = v" -U". nE a.) Montrer que (w,,) est une suite géométrique dont on précisera le premier tenne et la raison. b.) Exprimer Wn en fonction de n. c.) Démontrer que la suite détenniner sa limite. 2.) Démontrer que la suite 6 n + 15 1.) Montrer que

suites récurrentes du type un +1 = f (un ) … Animations liées sur le site : Représentation graphique des termes d’une suite : cette applet java permet de représenter entre autre, les termes des suites récurrentes de la forme un +1 = f (un ) avec la fonction f de votre choix, ainsi que le terme initial voulu. Très pratique ! http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/suite-un/suite_ts.php Le cours complet illustré : vous retrouverez notamment les suites récurrentes, les suites adjacentes, des

d´finie en premi`re e e ee e e ann´e. e On note C(I) l’ensemble des segments inclus dans I. Lemme. Il existe une suite croissante (Jn )n∈N de segments inclus dans I dont la r´union est ´gale a I. Une telle suite est dˆ adapt´e a I. e e ` ıte e ` Informellement, Jn −→ I. n→+∞ D´monstration. e Premier cas. On suppose que I est born´. Notons a et b les bornes de I. e Si I = [a, b], la suite constante ([a, b])n∈N convient, b−a ])n∈N convient, si I = [a, b[, ([a, b − n+2 b−a si I =]a, b], ([a + , b])n∈N

désigne par la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par . 1. Calculer . 2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes , , , , et comprises dans la bande définie par . Zoom a) Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite en décrivant sa démarche. b) Démontrer cette conjecture. c) En déduire que la suite est convergente

Devoir 7 Exercice 1 : 1) a) - Nombre de bactéries à 1 heures : 100000 (1 + 18/100) = 100000 ( 1,18) = 118000 . - Nombre de bactéries à 2 heures : 118000 x (1,18) = 139240 ( c'est-à-dire 100000 x (1,18)² ) b) C’est Suite géométrique de premier terme n0 = 100000 , de raison r = 1,18 de terme général nn = 100000 x 1,18n c) le nombre de bactéries atteint 10 millions ( = 107 ) lorsque 107 = 100000 x 1,18n Soit 1,18n=100 on calcule n en utilisant des approximations 1,1827 = 87.2598

0) 2ème étape : on suppose la propriété vraie au rang n 3ème étape : on en déduit que la propriété est vraie au rang n+1 Conclusion : la propriété est vraie pour tout n  IN (respectivement pour tout n ≥ n0). Exemples : Exemple 1 : Soit (un) la suite définie par : un = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1). u1 = 1 ; u2 = 1 + 3 = 4 ; u3 = 1 + 3 + 5 = 9 ; u4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Conjecture un = n2. Exemple 2 : 1 Soit f la fonction définie par f(x) = x pour tout x ≠ 0. 1 2 3x2 f '(x) = - 2 ; f ''(x) = 3 ; f

x→0 x→1 et en cas de limite non nulle : ex cos x (1.6) Dans le contexte 1.5, si vn −→ l (r´el, complexe ou ±∞), alors un −→ l. Si la suite (vn ) e n→+∞ α(α−1)...(α−n+1) n x n! ´ (2.2) Equivalents classiques. f (x) −→ 1. g(x) x→x0 un + o(x2n+1 ) n→+∞ est born´e, alors la suite (un ) l’est aussi. e (1.7) Si la suite (un ) converge vers le nombre fini et non nul l, alors un ∼ l lorsque n → +∞. Idem pour une fonction. x→0 x→0 (2.3) Formule de Taylor-Young

entier n tel que : n! 107 2. Étude d'une suite. On considère la suite (un) définie par : un = a. Calculer u0, u1, u2 et u3. b. Démontrer que la suite (un) est strictement croissante. c. Le but de cette question est de prouver que (un) est majorée. (i) Démontrer que : n 1 k! k =0 n un 1+ 1 2 k −1 k =1 1 2 n n (ii) Démontrer que : k =1 1 2 k −1 = 2 1− (iii) En déduire que (un) est majorée par 3. d. En déduire que la suite (un) converge. (On ne demande pas de calculer