Subdivision d'un intervalle

∀b ∈ R ∀c 0 a b ⇒ ac bc . • Règles de calcul (x ∈ R , y ∈ R , n ∈ N) n (x + y)n = k=0 n k x k y n−k où n k = n! k!(n − k)! n−1 x n − y n = (x − y) x n−k−1 y k . k=0 • Valeur absolue La valeur absolue d'un réel a, notée |a|, est définie par : |a| = a si a 0 ; |a| = −a si a 0. • • Propriété d'Archimède Soit a ∈ R et b > 0. Alors il existe k ∈ N tel que bk > a. • 6 Propriétés ∀a ∈ R ∀b ∈ R |a| 0 ; |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 ; |ab| = |a|

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires

consid´ r´ . Ici, on s’int´ resse a l’int´ gration des e ee e e ` fonctions continues par morceaux. 1.1. D´ finition de l’int´ grale d’une fonction continue e e 1.1.1. Cas d’une fonction positive. →→ − − D´ finition 1.1. Soit P un plan muni d’un rep` re orthogonal (O, i , j ). Soient e e I, J, K les trois points du plan P d´ finis par : e − → → − − → → − − − → → → − − OI = i , OJ = j , et OK = i + j . On appelle unit´ d’aire ( not´ e en abr´ g´ u.a.) l’unit´ de mesure des aires

. . . . . . . . Prix d’un contrat Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 7 8 11 11 13 14 17 19 19 20 22 23 26 28 31 31 31 31 32 33 35 2 Modèle Binomial à une période 2.1 2.2 2.3 2.4 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stratégie de Portefeuille simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation et couverture d’un produit dérivé . . .

peut alors délimiter une surface par : le graphe de f , l’axe Ox, les droites x = a, x = b, puis lui associer un nombre réel noté S appelé aire de la surface (l’unité de mesure étant un cube de coté 1). 2/27 Valeurs approchées - Intégrale définie Subdivision avec n=5 3 M— Michel Fournié O- Intégrales simples Rappels Approximation • Une valeur approchée In de S peut être obtenue en partageant I en n parties égales x0 = a, · · · , xk = a + k b−a , · · · , xn = b, n ∆xi = xi+1 − xi • et en calculant

populations. On va se limiter à deux populations avec une interaction proie-prédateur. Le premier modèle est du à Volterra (1860-1940) et est appelé modèle de Lotka-Volterra, car il a été introduit presque simultanément par Lotka comme représentation d'un système chimique exhibant un caractère oscillant. Ce modèle est basé sur les hypothèses suivantes :  sans prédateurs, la population des proies croît exponentiellement vite (dynamique de Malthus);  sans proies, le taux de morts parmi les prédateurs

l’écart : éloigné Désespoir : fait d’être découragé Pâle : 1 se dit d’un teint peu coloré , d’une blancheur terne 2 qui a le teint pale ; blême , blafard. 3 se dit d’une couleur dont la tonalité est atténuée Statue : N F sculpture en ronde bosse représentant un être animé entier , dans quelque position que ce soit , et dont les dimensions sont égales à la moitié au moins de la taille naturelle. Tombeau : monument élevé sur la tombe d’un mort 2 lieu ou circonstance où quelqu’un , quelque chose a péri

TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 2 A A.1 Structures fondamentales Éléments de théorie des ensembles Notions – Les tables de vérité de ¬, ∧, ∨, ⇒ et ⇔ ; la relation (A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B). – L’inclusion, la complémentarité, les parties d’un ensemble, l’intersection et la réunion, avec leurs propriétés élémentaires (comme les lois de de Morgan). – La différence entre une application (E = Df ) et une fonction (E ⊂ Df ). – L’ensemble F(E, F ) = F E des familles indexées sur E à valeurs dans

autre lui est postérieure. [pic] Ainsi, la cristallisation d’un granite intrusif se fait lors de l’ascension d’un magma. Les roches encaissantes sont donc + anciennes que l’intrusion granitique, et peuvent avoir été modifiées par la chaleur dissipée par le magma en cours de refroidissement (métamorphisme de contact). Il en est de même pour les éruptions volcaniques : les cheminées et les filons associés à la montée d’un magma sont + récents que les roches qu’ils traversent. Se principe

noté B(t, T ). Alors, en AOA, les prix des calls et des puts en t sont reliés par la relation de parité call put: Ct − Pt = St − KB(t, T ) En effet considérons les deux stratégies de portefeuille: en 0 Port. 1 Achat d’un Put européen en t Achat d’un actif risqué en t Valeur Achat d’un Call européen en t Achat de K actifs sans risque en t Valeur en t Pt St Pt + St Ct d KBt d Ct + KBt en T (K − ST )+ ST (K − ST )+ + ST (ST − K)+ K (ST − K)+ + K Port. 2 Remarquons que l’on a: (K − ST )+ + ST =