Suite aléatoire

Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. - Toute suite décroissante

Cours sur les suites Généralités Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique est une fonction nommée u : IN → IR L'image d'un entier n est notée u(n) u(n) est appelé le terme général de la suite Le terme de rang n+1 est noté u(n+1) 2) Suites définies par une fonction Si f est une fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ , on peut lui associer la suite u(n) de terme général u(n)=f(n). les points de coordonnées (n,u(n)) appartiennent à la courbe d'équation

solutions : u(x) = ke−2x + 1, k ∈ R. La condition u(0) = 0 donne k + 1 = 0 donc k = −1. Par conséquent : u(x) = −e−2x + 1 = 1 − e−2x . 1 1 1 ln 2 = 1 − e− ln 2 = 1 − eln 2 = 1 − = donc la proposition 2 est vraie. Alors : u 2 2 2 3. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = Effectuons une démonstration par récurrence. Soit Pn la proposition : « 0 u n 7 » • (initialisation) u 0 = 2 donc 0 u0 7. P0 est vraie. 7u n . On a montré que la par récurrence que

de sa fonction dérivée f ’, sa limite éventuelle en +∞ et dresser le tableau de ses variations. 2. On définit la suite ( un )n≥0 par son terme général un = n+1 n f ( x ) dx . a. Justifier que, si n ≤ x ≤ n + 1 , alors f ( n + 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( n ) . b. Montrer, sans chercher à calculer un , que pour tout entier naturel n, f ( n + 1 ) ≤ un ≤ f ( n ) . c. En déduire que la suite ( un ) est convergente et déterminer sa limite. 3. Soit F la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par F ( x ) = ln (

de deux dés en apparence identiques dont l' un est parfait et l' autre truqué. Les faces de chacun sont numérotés de 1à6 1 3 1)a) on lance le dé parfait 3 fois de suite on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de fois ou la face portant le chiffre 4 apparait quelle est la loi de X b) On lance le dé truque 3 fois de suite ; quelle est la probabilit é d' obtenir exacement deux fois la face portant le chiffre 4 2) On choisi au hasard l' un des deux dés ; les choix étant équiprobab les

sont donc les fonctions u ( x ) = Ke −2 x + 1, K ∈ u ( x ) = −e −2 x + 1, K ∈ . Par conséquent u ln ln 2 − ln 2 = −e ( ) + 1 = −e 2 1 2 : comme u(0) = 1, on a K = -1 et donc 1 1 + 1 = − + 1 = : Proposition 2 Vraie. 2 2 3. On considère la suite ( un ) définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 7 un . Proposition 3 : « Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 7 . » Soit P(n) la proposition « 0 ≤ un ≤ 7 ». • • P(0) est vraie puisque u0 = 2 est compris entre 0 et 7. Supposons

Définition Une série temporelle est une suite d’observations {yt, t = 1,2,...,T}. Si on traite chaque observation yt comme une variable aléatoire, alors la séquence {yt, t = 1,2,...,T} définit un processus stochastique, d’où la définition suivante, Définition Un processus stochastique est une collection de variables aléatoires ordonnées dans le temps. Pour une seule réalisation du processus, on dispose d’une seule observation pour chaque variable aléatoire et ces valeurs évoluent dans le temps selon

H1 LES HYPOTHÈSES DU M.R.S Le modèle est correctement spécifié  La variable explicative retenue est la « meilleure » sans omissions d’autres variables  La vraie relation est linaire ou par rapport aux paramètres à estimer  La variable aléatoire intervient de manière additive H2 H3 X et Y sont des grandeurs numériques observées sans erreurs  E(ei) = 0 ce qui implique que les valeurs calculées sont proches des valeurs observées L’Homoscédaticité  Les erreurs ei sont distribuées

durée de vie accélérée. On considère un échantillon d'individus dont les caractéristiques observables sont notées X . On cherche à expliquer les disparités d’une variable Y au moyen d’un modèle linéaire : Yi = Xi b + σui où u est une variable aléatoire centrée et réduite de densité f et de fonction de répartition F . L’échantillon est constitué de deux sous-populations, dont l’une est éventuellement vide : Ä Dans un premier sous échantillon E1 , la variable expliquée Yi est observable telle quelle

2012 Exercice 1 ROC 3 points On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 1) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme S n = u0 1 − qn+1 1−q 2) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 1 1 1 1 + + + + ··· + + 3 9 27 6561 Exercice 2 Visualisation d’une suite 2 points Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par : f (x) = 3 − 4 x+1 On considère la suite définie pour tout n ∈ N par : u0 = 4 un+1 = f