Suite de Cauchy

mouvement de l’écologie poliƟque jusqu’au développement durable actuel. Felli nomme l’écologie poliƟque « écologie par en bas » et le développement durable « écologie par en haut ». Nous allons voir que ces deux mouvements ne sont pas nés l’un à la suite de l’autre, mais bien l’un opposé à l’autre. En 1970 de nouvelles criƟques émergent, dont celles de l’économiste et mathémaƟcien Nicholas Georgescu-Roegen, montrant que l’impact de nos consommaƟons sur l’épuisement des ressources est évident. Par

premi`re e e ann´e pour les d´tails et surtout les dessins). e e Proposition 4 (In´galit´s importantes). Soient f et g, continues par e e morceaux sur [a, b], ` valeurs dans K, alors : a b a b f (x) dx ≤ a |f (x)| dx et l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz : e e b a b b |f (x)g(x)| dx ≤ a |f (x)|2 dx a |g(x)|2 dx D´monstration. La premi`re peut, par exemple, s’obtenir par passage ` la e e a limite via le th´or`me 1. La deuxi`me a ´t´ vue en premi`re ann´e, elle e e e ee e

xN . Par exemple, si vous achetez x1 kilos de pommes à 2 euros le kilo et x2 kilos de poires à 3 euros le kilo, le prix total y que vous payez est la combinaison linéaire y = 2x1 + 3x2 . La notion de combinaison linéaire sera fondamentale dans la suite de ce cours. Finalement, l’algèbre linéaire est le domaine des mathématiques qui étudie de façon systématique les propriétés associées à la dépendance linéaire. Les concepts de base sont celui de combinaison linéaire dont on vient de parler, et les

deux ` deux distincts, e e e a ´ometrique AOB donne lieu ` deux angles orient´s : (OA, OB) et (OB, OA). ´ l’angle ge a e ´ ´ ´ Un angle oriente est donc un angle geometrique auquel ont donne un sens de parcourt ; donn´ par l’ordre des vecteurs. e Par suite, on peut adapter la relation de Chasles des angles g´om´triques aux angles orient´s : e e e Proposition 2: Relation de Chasles Soient u, v et w trois vecteurs non nuls. Alors : (u, v) = (u, w) + (w, v) soit mes(u, v) = mes(u, w) + mes(w, v) + 2kπ (k

discret est construit sur un espace probabilisé fini (Ω, F , P), muni d’une filtration, c’est-à-dire d’une suite croissante de sous-tribus de F : F 0 , F1 , . . . , FN ; Fn représente les informations disponibles à l’instant n et est appelée, “tribu des événements antérieurs à l’instant n”. “L’horizon” N sera le plus souvent, dans la pratique, la date d’échéance des options. On supposera dans la suite que F0 = {∅, Ω}, FN = F = P(Ω) et ∀ω ∈ Ω P ({ω}) > 0. On suppose qu’il y a sur le marché d + 1 actifs

est fixée par l’administration selon la méthode d’évaluation dite par comparaison : leur valeur locative est déterminée, soit à lEs Impots loCaux a la ChaRgE DEs EntREpRIsEs 67 Doing business in France conseil de l’expert Jean-Fabrice Cauchy, expert comptable, commissaire aux comptes - Isobel Audit Consulting LA nouVeLLe contRiBution economiQue teRRitoRiALe (cet) A partir de janvier 2010, la taxe professionnelle est remplacée par la Contribution économique territoriale (CET). La contribution

le nombre de vaches qui ont une mammite dans un ´levage ; e 3) le pourcentage de r´ussite aux examens ; e 4) le temps pendant lequel un animal est porteur d’une maladie ; Pour simplifier les notations, on note g´n´ralement X au lieu de X(ω). Par la suite, e e cet abus de notation sera abondamment utilis´ e 1 13 5) la temp´rature d’un chien; e 6) les concentrations en fer et en cuivre dans le sang d’un animal sain. Les trois premi`res v.a. sont discr`tes, et ne peuvent prendre que des e e valeurs

les fractions rationnelles, de la forme x → P (x)/Q(x), o` P et Q sont des pou lynˆmes, d´finies sur l’ensemble des nombres r´els x tels que Q(x) = 0 ; o e e – les fonctions logarithme n´perien, exponentielle, sinus et cosinus, ´tudi´es dans la e e e suite. Rappelons la d´finition des fonctions puissances ` exposant rationnel. Si r est un e a nombre rationnel, de la forme r = p/q, avec p et q entiers strictement positifs, la fonction x → xr√ d´finie sur [0, +∞[, associe a x la p-i`me puissance de sa racine

̸=x0 et p(x1 )=0, alors x1 annule q et q est de la forme q(x) = (x−x1 )r(x) avec r polynôme de degré n−2. La suite de la récurrence est laissée en exercice. 2- C'est vrai pour m = 1. Pour m = 2, comme x0 est racine, on a p(x) = q(x)(x−x0 ). Puis p′ (x) = q(x)+(x−x0 )q ′ (x) et p′ (x0 ) = 0 donne q(x0 ) = 0, d'où q est de la forme q(x) = (x−x0 )r(x) avec r polynôme de degré n−2. La suite de la récurrence est laissée en exercice. Puis si x0 était racine de q , alors q serait de la forme q(x) = (x−x0

ENONCES (d) Soit P 2 E , montrer : P (Z) Z() (les coordonnees de P dans la base (Cp)p2N sont entieres). p 0 = X (?1)k?1 1 C . (e) Montrer : Cp k p?k k=1 +1 X n?1 n En deduire : D = (?1) , ou D est la derivation sur E. n n=1 34. Soit (Pn )n2N une suite de R X ], on suppose : 8n 2 N deg Pn+1 > deg Pn . Montrer que (Pn )n2N est une base () deg Pn = n. 35. Soit E = Rn X ], soient b0; : : : ; bn; n + 1 reels. Soit ui : P 2 E 7?! P (bi) 2 R; i 2 f0; : : : ; ng. (a) Montrer que (ui)i2f0; :::; ng est libre