Suite

suitesont strictement positifs. Exercice 2 Démontrer que, Exercice 3 Soitla suite définie paret Démontrer que, II. Comportement global d'une suite 1. Sens de variation d'une suite Définition 1 Soitune suite définie sur On dit queest croissante lorsque, On dit queest décroissante lorsque, On dit queest monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. On dit queest constante lorsque, Note : Il peut arriver qu'une suite soit croissante (resp. décroissante) à partir d'un certain rang: pour tout

Capacités attendues Commentaires Suites Suites géométriques. • Reconnaître et exploiter une suite géométrique dans une situation donnée. • Connaître la formule donnant : 1 + q + K + qn avec q ≠ 1 . Limite de la suite (qn), q étant un nombre réel strictement positif. Suites arithmético-géométriques. • Déterminer la limite d’une suite géométrique de raison strictement positive. • Étant donné une suite (qn) avec 0  q  1, mettre en oeuvre un algorithme permettant de déterminer un seuil à partir

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 22 octobre 2012 Enoncés Exercice 8 [ 03497 ] [correction] Soit (un ) une suite de réels non nuls vérifiant un+1 →0 un Déterminer la limite de (un ). avec < . 1 Suites numériques Convergence d’une suite numérique Exercice 1 [ 02247 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn . et Calculs de limites Exercice 9 [ 02254 ] [correction] Déterminer la limite, si celle-ci existe

suites et récurrence Notion de suite : Une suite réelle est une application de N (ou parfois de N∗ ) à valeurs dans R. La suite N −→ R est notée de plusieurs façons : n −→ un (un )n∈N I , (un ) ou parfois u Suites arithmétiques et géométriques Soit n ∈ N∗ et q ∈ R\{1}. Alors 1 + 2 + 3 + ... + n = ...... ...... 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn = ...... Suite arithmétique de raison r dénition par une relation de récurrence ......... un+1 = q × un Suite géométrique de raison q = 1

SESSION 2012 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 EXERCICE 1 : normes équivalentes 1. Soit f ∈ E. f est de classe C1 sur [0, 1]. Donc la fonction |f ′ | est continue sur le segment [0, 1] et par suite la fonction |f ′ | est intégrable sur le segment [0, 1]. On en déduit que f existe dans R. 1 • Pour tout f ∈ E, f = |f(0)| + 2 • Soit f ∈ E. 0 |f ′ (t)| dt 0. 1 1 f = 0 ⇒ |f(0)| + 2 0 • Soient f ∈ E et λ ∈ R. ⇒ ∀t ∈ [0, 1], f(t) = f(0)

Définitions : Définition 1 : Soit u n  une suite. 1. La suite u n  est majorée s’il existe un réel M tel que u n ≤M pour tout entier n. 2. La suite u n  est minorée s’il existe un réel m tel que u n ≥m pour tout entier n. 3. La suite u n  est bornée si elle à la fois majorée et minorée. Remarque 1 : Soit une fonction f majorée (resp. minorée, bornée),  Si la suite u n  définie par u n = f n  existe alors elle est majorée (resp. minorée, bornée).  Si une suite  v n  vérifiant v n1= f  v n 

Cours sur les suites Généralités Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique est une fonction nommée u : IN → IR L'image d'un entier n est notée u(n) u(n) est appelé le terme général de la suite Le terme de rang n+1 est noté u(n+1) 2) Suites définies par une fonction Si f est une fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ , on peut lui associer la suite u(n) de terme général u(n)=f(n). les points de coordonnées (n,u(n)) appartiennent à la courbe d'équation

Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. - Toute suite décroissante

2012 Exercice 1 ROC 3 points On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 1) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme S n = u0 1 − qn+1 1−q 2) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 1 1 1 1 + + + + ··· + + 3 9 27 6561 Exercice 2 Visualisation d’une suite 2 points Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par : f (x) = 3 − 4 x+1 On considère la suite définie pour tout n ∈ N par : u0 = 4 un+1 = f

NotationsUne suite numérique est une fonction de ℕ vers ℝ. Si une suite est représentée par la lettre u, on note un l'image de n, appelée aussi terme d'indice n. La suite entière est représentée par (un). Suite des valeurs d'une fonction.Soit f une fonction définie sur [0; +[. On peut définir une suite (un) par un = f (n). Exemple Soit f la fonction définie par . On considère la suite (un) définie par un = f(n). On a alors : , , , etc... Suite définie par récurrenceOn définit une suite par