Suite

une suite de nombres réels, on pose : n Sn = u0 + u 1 + . . . + u n = uk . k=0 La limite de Sn est appelée série de terme général un . (Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général un est notée 1.2 un Convergence   ou  n≥0   un . Définition 1.2.1 Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn

premiers termes d’une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d’une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d’une suite un+1 = f (un ) 4 Déterminer le sens de variation d’une suite 5 Montrer qu’une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d’une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique 8 Montrer qu’une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d’une suite géométrique 10

appelle une suite numérique, toute application de N dans R. Une suite se note u, ( ) n N ou bien ( ) qui est la notation la plus courante. ( ) désigne une suite désigne un nombre est le terme général de la suite ( ), le terme de rang n ou le terme d’indice n. est le terme initial de la suite ( ) Si deux suites ont la même relation de récurrence et le même premier terme alors ces deux suites sont égales. Une suite ( ) est croissante lorsque pour tout entier n : < Une suite ( ) est

de la limite d'une suite que nlim → +∞ Exercice 1 : ( sur 2) Soit u n=3+ Exercice 2 : ( sur 3) Déterminer la limite des suites suivantes : 2 n n −2 n +3 n+1 2 −3 w = ; u n=3 n3 – 4 n+2 ; v n = n 2 n 3 n +5 n 3 −1 Exercice 3 : (sur 2) Les suites u et v sont définies pour tout entier naturel n  2, par : n n u n= et v n = √n √ n+1 1°) Déterminer la limite de u n . 2°) Montrer que pour n  2, u n⩽v n 3°) En déduire la limite de v n . Exercice 4 : ( sur 3) 1°) On considère une suite u définie sur ℕ et

mathématiques Lundi 23 septembre 2013 Exercice 1 ROC 5 points 1) On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q 1 a) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme 1 − qn+1 1−q b) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 1024 S n = u0 2) a) Donner la formule de la somme S n des (n+1) premier termes d’une suite arithmétique : S n = u0 + u1 + u2 + · · · + un b) Déterminer en fonction de n, la somme

Partie A On considère la suite définie par et pour tout entier naturel , 1. On considère la suite définie pour tout entier naturel par . a. Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Pour tout entier naturel on a : Donc la suite est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme : . b. Exprimer en fonction de . La formule explicite de la suite géométrique déterminée à la question précédente est :

: A1 A1 B2 A0 On en déduit que la suite (bn ) est décroissante. Graphiquement, les deux suites resterons chacune d’un côté de la droite graduée ( ? ?). 4. On a les propriétés suivantes : La suite (an ) est croissante ; La suite (bn ) est décroissante ; Pour tout entier naturel n, on a : an bn Pour que ces deux suites soient adjacentes, il suffit de montrer que : lim bn − vn = 0 n→+∞ 0 2 4 Or, d’après la question 2. , le terme de rang n de la suite (un ) admet l’écriture : 1 n un = 6·

Un une suite arithmétique de raison r, cela veut dire que pour passer d'un terme à un autre on ajoute la raison : Un+1 = Un + r On peut ainsi définir ce qu'on appelle le terme général de la suite, c'est à dire qu'on peut déterminer n'importe quel terme de la suite en fonction de n : Un = Uo + n.r (avec Uo le premier terme) Il faut faire parfois attention, car on peut avoir U1 comme premier terme et non Uo, on écrira Un comme ceci : Un = U1 + (n-1).r Si on veut déterminer la somme d'une suite arithmétique

EXERCICE 2 PARTIE A 1/  Soit (Un) la suite définie par U0 = 10 et pour tout entier naturel n :  Un+1 = 0.9Un+1,2  On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n , par Vn=Un-12  a) Démontrez que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.  Vn+1 = Un+1 - 12 = 0.9Un + 1.2 - 12 = 0.9Un-10.8 = 0.9(Un-12) = 0.9Vn  q=0.9  V0=-2  b) Exprimez pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.  Vn=-2*(0.9)^n  c) En déduire que, pour

positifs . La série de Riemann n +1 converge car P + 1 > 1 . On a donc la convergence de un (x) . P un converge simplement sur R+ p On peut remarquer que un (1= n) = 1 1 1=2 on a une série de Riemann divergente. +1=2 . Donc pour a 2 Pn P On a trouvé une suite (xn ) telle que u(xn ) diverge . la série un ne converge pas normalement 1b) On a la majoration : x x 1 ) un (x) n 1:1 = n1 x 1 1 ) un (x) n :nx2 = x n 1+1 + 1 n donc > 1 )CVN Mais je ne trouve pas de majoration simple marchant