Symétrie axiale

polynômes de degré ƒ Connaître les variations des fonctions polynômes de Les résultats concernant les variations des fonctions 2. degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la symétrie de leurs courbes. propriété de symétrie de leurs courbes sont donnés en classe et connus des élèves, mais peuvent être partiellement ou totalement admis. Savoir mettre sous forme canonique un polynôme de degré 2 n’est pas un attendu du programme I. EXPRESSIONS ALGEBRIQUES

coefficients avec a  0 . Tableaux de variations : a >0 a <0 Courbes représentatives : a >0 a <0 Vocabulaire : Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. Remarque : Cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. II. Forme canonique Propriété : Un trinôme f  x  = ax 2 + bx + c peut toujours s’écrire sous la forme f  x  = a  x -   +   a  0  appelée forme canonique avec  = 2 b et 2a - b 2 + 4ac . = 4a Démonstration

une fonction polynôme de degré 2. On sait que 1. Quelle est la nature de la courbe représentative de ? 2. Quel est l’axe de symétrie de la courbe ? voir le corrigé Exercice 22 Soit la fonction définie sur ℝ par 1. Quelle est la nature de la courbe représentative de ? 2. Calculer les ordonnées des points A et B de d'abscisses respectives 0 et 6. 3. Quel axe de symétrie peut-on en déduire pour ? 4. Donner les coordonnées du sommet S de . 5. Tracer le tableau de variation de . voir le corrigé

précisions si nécessaire. * Enfin, faire un bref rappel des outils auxquels les élèves peuvent avoir recours, pour vérifier les propriétés des figures géométriques sur lesquelles ils doivent travailler (à savoir: le pliage, pour trouver les axes de symétries, le compas et la règle, pour comparer les longueurs, et l’équerre pour repérer les angles droits.) * Suite à cette précision, un exemplaire de la figure reproduite sur papier, est donné à chaque élève, pour leur permettre de la plier, afin de les

j , ), notons C la courbe d'équation y = ¦(x) = ax 2 + bx + c. Théorème 5 La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Elle est tournée vers le haut si a > 0, tournée vers le bas si a < 0. Son axe de symétrie est la droite verticale d'équation : x = – b 2a . Son sommet S a pour coordonnées : S ; 2 4 b a a æ ö D ç ÷ - - è ø Démonstration : Procédons à un changement de repère en posant X = x + b 2a et Y = y + D 4a . Ce changement a

fonction est terminée. Boss.-Extru.1 apparaît dans l'arbre de création. 2. Enlèvement de matière 1 Sélectionner le plan de dessus dans l’arbre de création et afficher Normal à, puis Esquisse. Après avoir créer un axe de symétrie, dessiner le rectangle et le coter. Utiliser l’outil Entités symétriques pour la 2ème partie de l’esquisse. Cliquer sur l’onglet Fonction puis Enlèv. De matière extrudé et procéder à l’enlèvement de matière en inversant

les deux cadres lors de la résolution de problèmes. Utilisation de la géométrie : - Symétrie - Recherche du complément - Mesure unidimensionnelle du rectangle ABCD - Calcul de b comme moitié de ECDF - Calcul de a comme moitié de ABCD Réponse : 2 × (36-16-2) = 2 × 14 = 28. NB : L'exercice proposé dans la collection "Corrieu" CM1 était proposé uniquement pour trouver un axe de symétrie ; cette recherche d'axe de symétrie prend ici du sens dans la résolution d'une tâche. Des activités mettant en oeuvre

points A(–3 ;1), B(–1 ;4) et C(1 ;1). Montrer que le triangle ABC est isocèle et calculer une valeur approchée à 0,01° près de l’angle au sommet. Voir la figure ci-dessous. [pic] Autre façon : D’après la figure, le triangle ABC admet un axe de symétrie passant par B donc il est isocèle en B. Pour calculer une valeur approchée de l’angle au sommet, on calcule le produit scalaire [pic]de deux façons : en utilisant le théorème du cosinus : [pic]= [pic]= 13 cos[pic] en utilisant la forme analytique :

impaire. 3. Autres éléments de symétrie Soit f une fonction définie sur Df . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , I , J). E Cf admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si : • Df est symétrique par rapport à a ; • pour tout réel f (a − h ) = f (a + h ) J h tel que a + h ∈Df , O I a–h a a+h E M K J M’ O I a–h a a+h Cf admet le point K(a ; b) comme centre de symétrie si et seulement si : • Df est symétrique

polygone régulier, etc. a1 c1 b1 a2 c1 c2 b2 b1 a3 c3 a1 c1 a2 b3 c2 a4 b1 c4 b4 Figure 3.1 : Décomposition des sections en trapèzes. Certaines formes à axe de symétrie horizontal peuvent aussi être calculées, mais pas les formes à axes de symétrie inclinés. = = Figure 3.2 : Cas des sections en L. Un cercle est assimilé automatiquement par le programme à un polygone (avec douze trapèzes). 3.2 Aciers Les aciers sont décrits par lits