Symétrie

Remarque : La fonction carrée n'est pas linéaire. Cette fonction est paire : pour tout , Représentation graphique : . Définition : La représentation graphique de la fonction carrée se nomme parabole. Remarque : L'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction carrée. Remarque : Fiche issue de http://www.ilemaths.net 1 Fonction carrée - seconde La représentation graphique permet également de trouver les produits de deux nombres. Exemple : 2 × 3

ou verticales Système d’inéquations Problème d’optimisation : la méthode d’optimisation Introduction aux fonctions Fonction - relation Parenthèses : () Crochets : [] Accolades : {} Réciproque Définition Exemple Notation Tableau Axe de symétrie Résumé des caractéristiques - (propriétés des fonctions) Domaine et codomaine Croissance, constance, décroissance Minimum et maximum Positif ou négatif (signe) Coordonnées à l’origine Fonction de base et fonction tranformée Paramètres Transformer

. 1. Déterminer le domaine de définition U de fm . 2. Démontrer que pour tout xÎU fm(x) = mx +m2 + m3 – 27 x-m . 3. Démontrer que les courbes Cm admettent deux asymptotes à déterminer 4. Démontrer que les courbes Cm admettent un centre de symétrie à préciser . 5. Démontrer que lorsque m varie , les courbes Cm passent par un point fixe .   Bonne chance. CONTROLE 1

-4 -6 ax + b p 2 - L’écriture sous la forme f(x) = -------------- n’est pas unique. Mais f(x) s’écrit d’une unique façon sous la forme m + --------- . cx + d x−i Le signe de p détermine le sens de variation et les coordonnées du centre de symétrie de l’hyperbole sont i et m . 3 - ; une fonction f qui vérifie f(− x) = − f(x) est dite impaire (c’est le cas des fonctions x SQQT x n avec n entier impair) 

x et (Cf ) sa courbe représentative dans le plan. 1. (a) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. [3pts] (b) Préciser les asymptotes à la courbe (Cf ) de f . [0,5pt] (c) Démontrer que le point I (0;1) est le centre de symétrie de la courbe (Cf ). [1pt] 2. Construire la courbe (Cf ). [1,5pt] 3. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie par g (x) Æ f (jxj) et (Cg ) sa courbe représentative. [0,5pt] (a) Montrer que la fonction g est paire. [0,5pt]

: Résoudre chacune des équations suivantes 2" ^l S* -.x+-=0 Exercice n"2 : 11i b) ___=_ 3 x x+l 6 : Eéterminer le trinôme / du second degré tel que : de / admet la droite d'équation"x = *3 comme axe de symétrie, et f (2) = -1. La courbe représentative extremum qui vaut Èxercice n'3 Soit / -l / admet un : fonction définie sur 1.. Factoriser /(x) la R par f (x) = -2x2 - 5x +3 2. Déterminer la forme canonique

admet deux asymptotes dont on précisera des équations. b. Démontrer que la fonction f1 est strictement croissante sur R. c. Démontrer que pour tout réel x, 0 < f1 ( x ) < 4 . 3. a. Démontrer que le point I1 de coordonnées (ln7, 2) est un centre de symétrie de la courbe C1. b. Déterminer une équation de la tangente T1 à la courbe C1 au point I1. c. Tracer la droite T1. 4. a. Déterminer une primitive de la fonction f1 sur R. b Calculer la valeur moyenne de f1 sur l'intervalle [0, ln7]. Partie B : Étude

3 en classe de CE2 et s’inscrit dans le domaine des grandeurs et mesures et partiellement dans le domaine de la géométrie. Elle s’effectue dans la première période de l’année septembre-octobre et peut être placée à la suite d’une séquence sur la symétrie (les élèves auront ainsi déjà eu l’habitude de manipuler un instrument de géométrie, la règle) et peut précéder une séquence qui intégrera la notion de perpendicularité (car les élèves auront vu en classe la notion d’angles droits). Lors du cycle

La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole qui admet comme axe de symétrie la droite d'équation . La réciproque est en partie vraie : quelle que soit une parabole donnée, il est possible de choisir un repère orthonormé du plan pour lequel il existe une fonction du second degré dont la parabole est le graphe. Les variations et la forme de la parabole présentent deux cas, suivant le signe du coefficient de second degré a. Si a est positif. La parabole admet un minimum ;

points A(–3 ;1), B(–1 ;4) et C(1 ;1). Montrer que le triangle ABC est isocèle et calculer une valeur approchée à 0,01° près de l’angle au sommet. Voir la figure ci-dessous. [pic] Autre façon : D’après la figure, le triangle ABC admet un axe de symétrie passant par B donc il est isocèle en B. Pour calculer une valeur approchée de l’angle au sommet, on calcule le produit scalaire [pic]de deux façons : en utilisant le théorème du cosinus : [pic]= [pic]= 13 cos[pic] en utilisant la forme analytique :