Symétrie

+ b + → c x+2 → 2. Soit C la courbe représentative de f dans le repère (O , i , j ) Montrer que C admet une asymptote verticale D et une asymptote oblique ∆ 3. Soit I le point d’intersection des asymptotes D et ∆ . Montrer que I est centre de symétrie de C. 1. On réduit au même dénominateur f(x) ∀x ∈ R − {−2} f ( x) = (ax + b)( x + 2) + c x+2 On développe et on ordonne le numérateur © Gérard Hirsch – Maths54 7 Limite et ordre - Asymptotes ∀x ∈ R − {−2} f ( x) = Cours ax 2 + (2a + b)

j , ), notons C la courbe d'équation y = ¦(x) = ax 2 + bx + c. Théorème 5 La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Elle est tournée vers le haut si a > 0, tournée vers le bas si a < 0. Son axe de symétrie est la droite verticale d'équation : x = – b 2a . Son sommet S a pour coordonnées : S ; 2 4 b a a æ ö D ç ÷ - - è ø Démonstration : Procédons à un changement de repère en posant X = x + b 2a et Y = y + D 4a . Ce changement a

−8 − 8i −1 − i −i(−1 − i) = −i. −1 − i b = zA − azA = −5 + 6i + i(−5 − 6i) = −5 + 6i − 5i + 6 = 1 + i s a pour écriture complexe : z ′ = −iz + 1 + i. s n’est pas l’identité et est une similitude indirecte ayant deux points invariants : c’est une symétrie axiale, d’axe (AC). b. E est le symétrique de H par rapport à la droite (AC), donc E est l‘image de H par s. zE = −izH + 1 + i = −i(−5) + 1 + i = 1 + 6i. zE=1+6i . c. Le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC est FA = |zA − zF | = | − 5 + 6i

coefficients avec a  0 . Tableaux de variations : a >0 a <0 Courbes représentatives : a >0 a <0 Vocabulaire : Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. Remarque : Cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. II. Forme canonique Propriété : Un trinôme f  x  = ax 2 + bx + c peut toujours s’écrire sous la forme f  x  = a  x -   +   a  0  appelée forme canonique avec  = 2 b et 2a - b 2 + 4ac . = 4a Démonstration

fonction impaire. 3. Autres éléments de symétrie Soit f une fonction définie sur Df . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , I , J). ̈ Cf admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si : t
Df est symétrique par rapport à a ; t

QPVS
UPVU
SÏFM
h f (a − h ) = f (a + h ) J O I a–h a M J M’ Exemple 3 I a–h a Cf admet le point K(a ; b) comme centre de symétrie si et seulement si : t
Df est symétrique

Créer / Ligne / Polygone / Polygone défini par ses sommets Pointer les 3 sommets, nommer le triangle t puis valider. Pour définir l’axe de symétrie : Créer deux points M et N puis la droite (MN) : Créer / Ligne / Droite / définie par deux points Pour représenter le symétrique d'un point : Créer / Point / Point image par / Symétrie axiale Pointer la droite, puis le point. Donner un nom à son image et valider. Observer les modifications de la figure en « bougeant »

Seconde à première 2011 6. Avec la fonction définie ci-dessus: A. Sa courbe représentative admet pour sommet le point S(1 ; 1). B. Un antécédent de 15 par h est 5. C. La fonction h est croissante sur . D. Sa courbe représentative admet un axe de symétrie horizontal. 7. étant toujours la fonction définie plus haut, l’équation A. 2 solutions pour k = 0 B. 1 unique solution pour k = -1 C. Aucune solution pour k >-1 D. 2 solutions entières pour k = -8. admet : 8. On donne ci-dessous le tableau de

x 2 ) , donc P est croissante sur ]-¥, a ] On raisonne de manière analogue pour x1, x 2 Î [ a, +¥ [ , avec x1  x 2  En pratique (i) De la même manière que pour la fonction carré, les fonctions polynômes de degré 2, admettent un axe de symétrie : la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le sommet S. (ii) Si a > 0 on dit que la parabole est tournée vers le haut (dans ce cas on a un minimum) (iii) Si a < 0 on dit que la parabole est tournée vers le bas (dans ce cas on a un

tout x, (-x)² = x² d'où f (-x) = f (x) On en déduit que pour tout x, les points M(x ; x²) et M'(- x ; x²), sont deux points de la parabole et que M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. L'axe des ordonnées et donc un axe de symétrie de la parabole. Lorsque pour tout x de son domaine de définition, f (-x) = f (x), on dira que la fonction est paire.La fonction carré est donc paire. Illustration animée : Sélectionner la courbe représentative de la fonction carrée puis déplacer

 x  f(x) – 0    Propriété 6: La représentation graphique d’une fonction définie sur  par x  a ( x   )2   avec a ≠ 0 est une parabole de sommet S( , ). La droite parallèle à (O, y) passant par S d’équation x =  est un axe de symétrie de la parabole.   Vecteurs et droites du plan www.mathmaurer.com – Cours – 1ère S I – Rappels sur les vecteurs 1 - Définition d'un vecteur Définition 1: Le vecteur AB est défini par : – sa direction, la droite (AB). – son sens, de A vers B.