Symétrie

sont colinéaires) et OM'=|k| OM. le point O est sa propre image, on dit qu'il est invariant. si A, B et C sont trois points alignés, A étant distinct de B et C, alors il existe une unique homothétie de centre A qui transforme B en C. une symétrie centrale de centre O est une homothétie de centre O et de rapport – 1. une homothétie de rapport 1 laisse tous les points invariants. Propriétés On considère une homothétie h de centre O et de rapport k. Propriété fondamentale Soient

commun : 1. 2) Géométrie : Thalès, Pythagore… Pythagore : Propriété : somme des carrés des côtés est égal à l’hypothénuse si le triangle est rectangle Si le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre BC, alors ABC est rectangle en A. Symétrie axiale conserve : les distances, les angles, le parallélisme, l’alignement, et les aires. Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure. Si deux droites sont parallèles alors deux angles alternes-internes sont de même mesure. Si deux droites

Iyy= 180.00 cm4 Izz= 84.08 cm4 Iyz= 0 cm4 2.4) Axes principaux d’inertie Un système d’axes centraux est un système propre a la section et dont le moment produit d’inertie Igyz vaut 0. Tout axe de symétrie d’une section est axe principal de celle-ci. IY= Iyy cm4 IZ= Izz cm4 φ= 0 2.5) Moments quadratiques dans une autre base centrale Ihh= 53

particulier, la fonction f admet un extremum en x=α Théorème 2 : Dans un repère ortho normal (O ; I ; J), la courbe représentative de la fonction polynôme du second degré fest une parabole dans le sommet S a pour abscisse x=α. Cette parabole a pour axe de symétrie la droite x=α. 1er cas : a>0 2e cas : a<0 Exemples : Les fonctions f, g et h sont définies sur R tels que : fx=xx-2 gx=2x-32-5 hx=x2-6x+5 Pour fx : a=1 ;b=-2 ;c=0 Pour g(x) : a=2 ;b=-12 ;c=13 Pour hx : a=1 ;b=-6 ;c=5 f(x) est

impaire. 3. Autres éléments de symétrie Soit f une fonction définie sur Df . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , I , J). E Cf admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si : • Df est symétrique par rapport à a ; • pour tout réel f (a − h ) = f (a + h ) J h tel que a + h ∈Df , O I a–h a a+h E M K J M’ O I a–h a a+h Cf admet le point K(a ; b) comme centre de symétrie si et seulement si : • Df est symétrique

azA = −5 + 6i + i(−5 − 6i) = −5 + 6i − 5i + 6 = 1 + i France 2 15 juin 2007 Baccalauréat S s a pour écriture complexe : z ′ = −iz + 1 + i. s n’est pas l’identité et est une similitude indirecte ayant deux points invariants : c’est une symétrie axiale, d’axe (AC). b. E est le symétrique de H par rapport à la droite (AC), donc E est l‘image de H par s. zE = −izH + 1 + i = −i(−5) + 1 + i = 1 + 6i. zE=1+6i . c. Le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC est FA = |zA − zF | = | − 5 +

= 45° or dans le triangle AHE on a AHE= 180° - (AÊH+EÂH) A^HE= 45° Donc HÂE = A^HE et le triangle AEH est rectangle et isocèle de sommet E donc EH=AE d’où EH=3√2. D) Le symétrique de E par rapport à (DB) est F. Le symétrique de H et G. Or la symétrie axiale conserve les longueurs donc FG=EH=3√2. Le symétrique de A est C dc FC=AE=3√2 cm. 3) A) Les triangles rectangles isocèles AEH’, G’FC, CFG, et AEH sont isométrique et ils ont une aire égale à la moitié de l’aire des carrés EFGH et EFG’H’

définie par f ( x ) = a x 2 + b x + c est : a>0 x −∞ +∞ − b 2a +∞ +∞ a 0 , la concavité de la parabole est tournée vers les y positifs. Si a < 0 , la concavité de la parabole est tournée vers les y négatifs. b est un axe de symétrie de la parabole. 2a 2 Remarque : La droite (verticale) d’équation : x = − 2) Exemples : ex 1 : Tableau de variation de la fonction f définie par : f ( x) = x 2 − 4 x −1. On a : f ( x ) = a x 2 + b x + c , avec : a = 1, b = −4, c = −1 ; avec

repère orthonormal d'unité graphique 1 cm. Le périmètre   de cette piscine est constitué de deux demi-cercles : AB de centre O et de rayon 3, et CD de centre O' et de rayon 4, reliés par deux courbes C et C '. L'axe des abscisses est un axe de symétrie de la figure. La courbe C reliant les points A et D est la courbe représentative d'une fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 8]. D R=3 R=4 C A 1 j → O 0 → O' i 1 8 B C' C Figure 1

48° Ainsi : ‖FI (2→3)‖ = FA 8→2×cosα = 350 × cos74.48 = 93.68 (Newton) Déterminons maintenant ses composantes sur x et y : FI (2→3) = -93.68×sinα-93.68×cosα---0I=-90.26-24.75---0I Sachant que la pièce 2 possède un axe de symétrie (y), on en déduit que : FJ (2→4) = 90.26-24.75---0J (Newton) * Système étudié : bâti 1 * Bilan des Action Mécanique Extérieures : - FG (8→1) = 0350---0G (Newton) - FB (3→1) = XBYB---0B - FD (4→1) = XDYD---0D * Application du Principe