Tangente hyperbolique

1 LIMITES DE FONCTIONS 1 ) LIMITE en + ∞ et en – ∞ Cf A ) LIMITE INFINIE en + ∞ et en – ∞ Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale . Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel . Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ . On note :  → j lim f ( x ) =

Calcul de dérivées. 4. Équation de tangente et de droite normale. 5. Pente de tangente. 6. Équation de tangente. 4 7. Équation de tangente et de droite normale. 8. Équation de tangentes. 9. Équation de tangente et point d’intersection. 10. Calcul de dérivées successives. 11. Calcul de dérivées successives. 12. Taux de variation moyen et taux de variation instantané. 13. Dérivation implicite. 14. Équation de tangente et représentation graphique. 15. Dérivation

Fiches de révision : Intégration Soit a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ; b]. On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal d’origine O. Puisque f est positif sur l’intervalle [a ; b], la courbe C est entièrement située au-dessus de l’axe des abscisses. On prend comme unité d’aire l’aire du rectangle de sommets le point O et les points de coordonnées (1 ;0), (1 ;1), (0 ;1). On appelle aire sous la courbe

(elle a un dénominateur qui s’annule !) x −1 0 1 ′ f (x) || + 0 − || f (x) 0 ↗ 1 ↘ 0 Le fait que la dérivée n’est pas définie en 1 et -1 s’explique par le fait qu’elle tend vers l’infini (puisque son dénominateur tend vers 0), ce qui veut dire que la tangente à la courbe est verticale en ces deux points (ce qui est normal pour un demi-cercle). La courbe représentative est la première des trois ci-dessus. 

(elle a un dénominateur qui s’annule !) x −1 0 1 ′ f (x) || + 0 − || f (x) 0 ↗ 1 ↘ 0 Le fait que la dérivée n’est pas définie en 1 et -1 s’explique par le fait qu’elle tend vers l’infini (puisque son dénominateur tend vers 0), ce qui veut dire que la tangente à la courbe est verticale en ces deux points (ce qui est normal pour un demi-cercle). La courbe représentative est la première des trois ci-dessus. 

= lim h→0 h=0 f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = lim . x→a h x−a x=a y (Cf ) M f (a + h) hε(h) t A f (a) j 1.2 a a+h x f ′ (a) est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe de f . Équation de la tangente (At) : La tangente à la courbe de f en A a pour équation : y = f ′ (a)(x − a) + f (a). ∗ Université f (a + h) − f (a) i O Remarque : hf ′ (a) de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 1 ♣ 1.3 Exemples

 devoir 1 tes exercice 1 : 1) résoudre : 5x2+4x-1 = 0 2) Soit la fonction f définie sur [-7 ; 5] par : f(x) = 5x2+4x-1 a)Donner la forme canonique de f . b) En déduire les caractéristiques de la courbe C de la fonction f. c ) Tracer la courbe C. d) Vérifier le 1) (faire apparaître les solutions). e) A partir de a) factoriser f .En déduire une résolution du 1). réponse : 1) on utilise delta = b²-4ac=4²-4x5x(-1)=16

6. x2-2x-15=0 a deux solutions 5 et -3 donc f’(x) est négatif dans l’intervalle [-3 ;5]. x -∞ -3 + f’(x) 1 0 - - -3 f(x) -∞ 8 2061 CT PA 02 5 0 +∞ -∞ +∞ + +∞ 13 3/6 7. L’équation de la tangente est y=f’(-1)(x+1)+f(-1) or f’(-1)= -3 y= -3x-8. et f(-1)=-5 donc l’équation est 8. Exercice 3 Partie A 2 g(x) = 1 − − ln x x 1) Chacune des deux fonctions x 2 et x x ln x est dérivable sur ]0 ; +∞[ donc g est dérivable

TP8 exercice 1 La commande va dessiner la fonction sinus et va définir les limites des axes. L'axe des x s'étend de -3 à 3 et celui des y de -1,5 à 1,5. La courbe obtenue est la suivante Commande :gnuplot> plot [-3*pi:3*pi] [-1.5:1.5] sin(x) nous avons tracer 3 courbes silmutanéments grace à la commande plot. Voici les 3 fonctions :  f  x=2 x4  g x =x 2 2 x1  h x =2 x sin  x /2 Commande :gnuplot> plot 2*x+4,x*x+1,2*x*sin(pi*x/2) on peut modifier

asymptote. Allez à : Correction exercice 4 par rapport à Exercice 5. Soit la fonction pour tout définie par ( ) √ 1. Déterminer le développement limité de , à l’ordre au voisinage de . 2. En déduire l’équation de la tangente au point d’abscisse et la position de la tangente par rapport à la courbe. 3. Déterminer une équation de l’asymptote en ainsi que la position de cette asymptote par rapport à la courbe. Allez à : Correction exercice 5 1 Développements limités, équivalents et