Tangente hyperbolique

+ ex. On appelle C sa représentation graphique dans un repère orthonormé → → (O ; i , j ) (unité graphique : 1 cm). 1. Déterminer la limite de f en +∞ et en –∞. 2. Etudier les variations de f. 3. Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente T à C a pour coefficient directeur 3. 4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique α. Donner un encadrement de α d’amplitude 10-2. Etudier le signe de f(x) selon les valeurs de x. 5. Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote

TP 2. Essai Jominy. HELGESON Olof MARGUERITTE Luc VINCENT Alexis Dispositifs : 3 1) Principe de fonctionnement de Jominy. 3 2) Description d’un échantillon. 3 Résultats. 3 Conclusion 4 Dispositifs : Principe de fonctionnement de Jominy. On utilise un jet d’eau pour refroidir l’échantillon. Description d’un échantillon. Au début on prend une mesure de dureté chaque 2 mm. Après 7 mesures on augment de 5 mm. Résultats. [pic] Ci-dessus

stationnaires et vecteurs tangents. Dénition On dit que F (t0 ) est un point stationnaire si F (t0 ) = 0. jectoires correspondant à des solutions d'équations diérentielles. Lorsqu'on a F (t0 ) = (x (t0 ), y (t0 )) = 0 cela signie que la vitesse s'annule d'où l'origine du mot stationnaire. Remarque. L'étude des courbes paramétrées permet en particulier de décrire les tra- (on suppose qu'un tel p existe) alors le vecteur F (p) (t0 ) = (x(p) (t0 ), y (p) (t0 )) est un vecteur tangent à la courbe au

Exercice 1 1) f’(1) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point D (1 ; 2), mais qui admet une tangente G (0 ; - 4) au point D. donc f’(1) = (yD-yG)/( xD –xG) = (2+4)/(1-0) = 6/1 = 6 f’(1) = 6 f’(2) = 0 Car f’(2) correspond au point E (2 ; 6) qui lui admet une tangente horizontale donc sa dérivée est égale à zéro. 2) L’équation tangente est : y = f’(a) (x-a) + f(a) Au point D, donc a = 1 f’(1) = 6 et f(1) = 2 donc, y = f’(1) (x-1) + f(1) y = 6x - 6 +

justifiera un encadrement à 10-2 près. 3. On pose A = [pic]. Encadrer A à 2×10-1 près (justifier) et montrer que A = f '([pic]). 4. Pour tout a > 0, on note (Ta) la tangente à (C) au point d'abscisse a. Montrer que ([pic]) a pour équation y = Ax. Tracer ([pic]), puis la courbe (C). 5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes (Ta) à (C) (en des points d'abscisses non nulles), seule ([pic]) passe par l'origine O. Partie 3 1. Pour n[pic][pic]*, on pose un =[pic]. Sans calculer explicitement

x – 1 )² x4 5) Etudier le sens de variation de la fonction f . Dresser son tableau de variation. 6) Déterminer l’équation de la tangente T au point d’abscisse x = 1. 7) Existe-t-il un point A de la courbe où la tangente T’ est parallèle à d ? Si oui, déterminer les coordonnées du point A et l’équation de la tangente T’. 8) Construire C , d , T et T’. 9) Dm est la droite d’équation y = x + m , m étant un réel. Déterminer selon les valeurs de m le nombre

|[pic] |[pic] | |K × U K constante réelle |K × U' | |[pic] |[pic] | |U × V |U'V + UV' | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | | | | |[pic] |[pic] | | | | |U(ax+b) |U'(ax+b) × a | | III Tangente en un point T : y = f'(a) × (x – a) + f (a) IV Position relative d'une tangente a une courbe a) équation de tangente T : y = f'(a) × (x – a) + f (a) b) Calcul de position relative f(x) – {équation de T} = quotient ? Effectuer un tableau de signe f(x) – {équation de T} > 0 ? f(x) > {équation

utilisant les données ci-dessus (on trouvera : a = c = – 2 et b = 3 ). Soit la droite ∆ d’équation y = – 2x + 3 . Étudier la position de C par rapport à ∆. Soit A le point de C d’abscisse 1 et ( T ) la tangente à C en A. Déterminer une équation de ( T ) . Montrer qu’il existe un autre point B de C où la tangente à C est parallèle à ( T ) . Exercice (7 points) * Soit f la fonction définie sur graphique 2 cm. Rappel • x → +∞ 3x – x 2 – 2 par f ( x ) = ------------------------- et x2 sa courbe

BTS — groupement C Correction ´preuve Math´matiques e e Session 2006 Exercice 1 (10 points) Partie A. Soit l’´quation : (E) y − 4y + 3y = −3x − 2 e 1. L’´quation (E) est une ´quation du second ordre ` coefficients constants. e e a Les solutions de l’´quation sans second membre (E0 ) y − 4y + 3y = 0 e s’obtiennent en r´solvant l’´quaton caract´ristique : r2 − 4r + 3 = 0. e e e Celle ci poss`de deux solutions : r1 = 1 et r2 = 3. e Les solutions de l’´quation (E0 ) sont donc les fonctions d´finies

PA RT I E A m 1. Manipuler une expression Pour tout réel x, on a : f ( x ) = ln ( e x + 2e – x ) f ( x ) = ln [ e x ( 1 + 2e – 2x ) ] f ( x ) = lne x + ln ( 1 + 2e – 2x ) f ( x ) = x + ln ( 1 + 2e – 2x ). Rappel : ln ( a × b ) = lna + lnb lne x = x m 2. Calculer la limite de la fonction en + ∞ et démontrer qu’une droite donnée est asymptote à . Étudier enfin la position relative de deux courbes • Utilisons l’expression f ( x ) = ln ( e x + 2e – x ) . ⎧ lim e x = + ∞ ⎪x → + ∞ On a ⎨