Tangente hyperbolique

droite (D) d'équation y = 2x + 4 est asymptote à (C) puis étudier la position      relative  de (C) par rapport à (D) lorsque  3) Calculer f'(x) puis en déduire que, pour tout    4) Dresser le tableau de variation de f   5) Donne une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1 6) a) Montrer que f réalise une bijection de  sur un intervalle J à préciser.          En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique    b) On note  la bijection réciproque de f. Calculer 

Dérivée d’un quotient – Équation d’une tangente – Problème d’optimisation Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I . ' Inverse  1 v'  v  = − 2 v ' Quotient  u  u 'v − uv '  v  = v2 Si, pour tout x de I , v ( x ) ≠ 0. Soit A(a ; f (a )) un point situé sur la courbe représentative d’une fonction f . Le coefficient directeur de la tangente à cette courbe au point A est égal au nombre dérivé f '(a ). L’équation de la tangente en A est de la forme y = f '(a ) ×

tout réel x. 2. Déterminer une équation de la tangente à Cj au point d’abscisse 1. 3. Donner l’approximation affine associée à j pour x proche de 1. En déduire une valeur approchée de j(1,1). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 4 (3 points) Soit k déf. sur D = ]2 ;+ ¥[ par k(x) = 1. Calculer k ’(x) pour tout réel x de D. 2. Etudier le signe de k ’(x) et dresser le tableau de variation de la fonction k. 3. La courbe Ck admet-elle des tangentes horizontales ? Exercice 5 (0.5+2.5+1+2+1.5=7

Limite et ordre - Asymptotes Cours CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES La lettre grecque α désigne soit + ∞, soit − ∞ , soit a un réel fini (a ∈ R) → → Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j ) , et on note C f la courbe représentative de la fonction f dans ce repère 1. LIMITE et ORDRE 1.1. Théorème de comparaison f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle I  Si ∀x ∈ I  lim g ( x) = +∞  x →α f ( x) ≥ g ( x) alors lim f ( x) = +∞ x →α Exemple Déterminer la limite

à un système du premier ordre. On obtient les réponses suivantes (en gardant le retard calculé préalablement): 6 BE Identification des systèmes linéaires Nous voyons les conséquences de notre identification du type premier ordre puisque la tangente à l'origine n'est pas nulle. Les courbes sont donc différentes. Le critère ISE est de 414. La méthode de la réponse échantillonnée est donc peu robuste vu le problème des variables complexes. 2) Méthode de Strejc Nous estimons ici que nous ne

IR par : où a et b sont des réels. On appelle (C) la courbe représentative de dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; ; ) d’unité graphique 2 cm. Déterminer et pour que la courbe (C) passe par le point et possède en ce point une tangente de coefficient directeur -6. Partie II Le but de cette partie est l’étude de la fonction numérique obtenue dans la partie I et définie sur IR par et le tracer de sa courbe représentative (C) dans le plan (P). 1.a) Déterminer la limite de en

ÉTUDE DE LA FONCTION TANGENTE . Le but de ce devoir est d’étudier la fonction tangente et d’en établir quelques propriétés. 1. Résoudre, sur ] − ; ], l’équation : cos x = 0. En déduire toutes les solutions, sur R, de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : tan x = sin x cos x pour x 2 D où D = R \  2 +k, k 2 Z  On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; #ı ; #| ). a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer

droite (D) d’équation [pic]. a) Montrer que la droite (D) est asymptote oblique à (C) en [pic] et en [pic]. b) Etudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote (D). c) Existe-t-il un point de (C) en lequel la tangente est parallèle à la droite (D) ? (justifier) 7) Tracer dans le repère [pic] les asymptotes et la courbe (C). 8) Soit ([pic]) la droite qui passe par le point K( 0 ; [pic] ) et qui a pour coefficient directeur m. a) Donner une équation

Certaines fonctions n'existent qu'à partir d'un certain réel a sans être nécessairement définie en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a. Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] − 2 ; + ∞[dont la courbe représentative est : Lorsque x se rapproche de 2 par la droite, f (x) croît sans bornes dans le sens où f (x) devient plus grand que n’importe quelle valeur donnée, si grande soit-elle. On dit alors que

asymptote oblique à la courbe[pic]en [pic]et en [pic] Préciser la position relative de [pic]et de Δ. 8. Déterminer [pic], puis dresser le tableau de variation de [pic]. 9. Déterminer une équation de la tangente ( T1 ) à ([pic] ) au point d’abscisse 1, puis une équation de la tangente ( T2 ) à ([pic] ) au point d’abscisse 3. Construire ([pic] ), ( T1 ), ( T2 ) dans le repère [pic] Exercice 2 On considère la fonction [pic] définie sur [pic] par :[pic] On note [pic]sa représentation