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LIMITES DE FONCTIONS
1 ) LIMITE en + ∞ et en – ∞

Cf

A ) LIMITE INFINIE en + ∞ et en – ∞

Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel .
Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ .
On note :


→

j

lim f ( x ) = + ∞

x → +∞


→

O

i

Rem :
De manière plus mathématique ( moins intuitive … ) :
Pour tout réel M > 0 , il existe un réel m tel que , si x > m , alors f ( x ) > M .
On dit aussi que la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞ .

, lim x 3 = + ∞ , lim

Exemples à connaître : lim x = + ∞ , lim x ² = + ∞ x → +∞

x → +∞

x → +∞

x=+∞

x → +∞

On définit de la même façon … lim f ( x ) = – ∞

lim f ( x ) = – ∞

x → +∞

lim f ( x ) = + ∞

x → –∞

x → –∞


→

j


→

j

O


→

O

i


→

i

Cf
Les nombres f ( x ) deviennent négatifs et de plus en plus grand en valeur absolue

Cf

→

j

Cf

Dans ces deux cas, f est définie sur un intervalle de la forme ] -∞ ; b ]

O


→

i

Rem :
Dans la pratique, on peut utiliser la remarque suivante :

lim f ( x ) = lim f ( - x )

x → –∞

x → +∞

Tout devient si simple quand f est paire ou impaire … lim x ² = + ∞

Ex :

x → –∞

lim x = - ∞

x → –∞

lim x 3 = - ∞

x → –∞

B ) LIMITE FINIE en + ∞ et en – ∞ ET ASYMPTOTE HORIZONTALE
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel et L un réel donné .
Intuitivement, dire que f a pour limite L en + ∞ , signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞ , les nombres f ( x ) correspondants viennent s’accumuler autour de L .
C’est à dire que pour tout ε (ε > 0 ) , aussi petit qu’il soit, les nombres f ( x )