Tangente hyperbolique

Probablement sans connaître les travaux de l'astronome indien du Ve siècle Âryabhata, il a introduit l'usage du sinus dans les calculs, et en partie celui de la tangente, formant ainsi les bases de la trigonométrie moderne. Il a utilisé les idées d'al-Marwazi sur les tangentes (ou « ombres ») pour développer des méthodes de calcul des tangentes et des cotangentes, et il en a dressé des tables. Il a créé plusieurs formules trigonométriques : Il a aussi résolu l'équation en la traduisant par l'équation

τ τmax sin 2πx . b Pour x petit, la distorsion (variation d’angle) entre les directions horizontale et verticale est donn´ee (au premier ordre) par γ = x/a0 . Le module de cisaillement en transformation infinit´esimale (x b) n’est autre que la tangente `a la courbe (τ, γ) `a l’origine : µ= ∂τ 2πa0 = τmax , ∂γ b et dans le cas d’un r´eseau cubique (o` u a0 b) la contrainte critique de cisaillement et le module de cisaillement devraient, selon ce mod`ele, ˆetre li´es par µ . 2π τmax Or l’ordre

vérifier que les fonctions ont une dérivée continue sur l’intervalle [a, b]. 58 Chapitre 3. Intégrale de Riemann et intégrale généralisée 3.4 Calcul des primitives En utilisant les résultats ci dessus et les formules trigonométriques ou hyperboliques (voir Chapitre 5), on calcule aisément les primitives des fonctions usuelles. Voici quelques exemples où on note Fonctions puissance : e(α +iβ )t dt = e(α +iβ )x , (α + iβ ) dt = ln |x| , t t α dt = xα +1 (α = −1). α +1 f (t) dt une primitive de

phénomène des couleurs. Cette explication est la suivante : selon la loi en sinus de la réfraction (Dioptrique, Descartes), les lentilles sphériques ne réfractent pas les rayons parallèles vers un foyer parfait. Il faudrait une surface elliptique ou hyperbolique. Newton, en essayant de faire des lentilles non-sphériques pour vérifier cette théorie en vient à conclure, dans sa réflexion, que l’aberration chromatique est beaucoup trop forte pour être entièrement due à l’aberration sphérique, ce qu’il

réel. Ainsi, en mode complexe, toutes les simplifications sont automatiques. 4.4- Le choix du mode angulaire Il existe 3 modes pour écrire un angle : Deg (degrée) , Rad (radian) et Gra (grade). Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente) de la calculatrice calculeront les résultats en fonction du mode choisi. 9 9 Pour afficher le mode configuration Se déplacer à l’aide de SHIFT MENU (SET UP). pour se placer sur la ligne

réel. Ainsi, en mode complexe, toutes les simplifications sont automatiques. 4.4- Le choix du mode angulaire Il existe 3 modes pour écrire un angle : Deg (degrée) , Rad (radian) et Gra (grade). Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente) de la calculatrice calculeront les résultats en fonction du mode choisi. 9 9 Pour afficher le mode configuration Se déplacer à l’aide de SHIFT MENU (SET UP). pour se placer sur la ligne

tapoté sur le bouton 2nd.) Calcule la tangente d’une valeur. Calcule la tangente inverse d’une valeur. (Disponible si vous avez tapoté sur le bouton 2nd.) Calcule le logarithme naturel d’une valeur. cos cos -1 tan tan ln -1 Chapitre 7 Autres applications 109 log2 sinh sinh -1 Calcule le logarithme de base 2 d’une valeur. (Disponible si vous avez tapoté sur le bouton 2nd.) Calcule le sinus hyperbolique d’une valeur. Calcule le sinus hyperbolique inverse d’une valeur. (Disponible

Arcsin : [−1, 1] → − , 2 2 p ∀ x ∈] − 1, 1[ : Arccos 1 Arcsin′ ( x) = √ 1 − x2 Arcsin Arccos : [−1, 1] → [0, π ] p 2 ∀ x ∈] − 1, 1[ : −1 Arccos′ ( x) = √ -1 1 1 − x2 Arctan π π Arctan : R → − ; 2 2 p ∀x ∈ R : 2 1 ′ Arctan ( x) = 1 + x2 Fonctions hyperboliques ch′ x = sh x 1 = 1 − th2 x th′ x = ch2 x 2.6 sh′ x = ch x Dérivation Dérivée en un point Soient un point a ∈ I, où I est un intervalle, et une fonction f : I → K. f ( a + h) − f ( a) On dit que f est dérivable en a si et seulement si lim h

. . . . . . . . . e 3.4.1 Fonctions trigonom´triques usuelles . . . . . . . . . . . e Cas d’expressions polynˆmiales . . . . . . . . . . . . . o Cas g´n´ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.2 Fonctions trigonom´triques hyperboliques . . . . . . . e 3.5 Int´grales ab´liennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.6 Quelques exemples en Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Commandes Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Travaux dirig´s e

. . . . . . . . e e 6.2 Les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Polynˆmes du second degr´ ` variable vectorielle . . . . . o ea 6.4 Formes canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Gradient et tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Extension ` des couples de variables vectorielles . . . . . a 6.7 Une pause : ` propos d’ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.8 (Maxi/Mini)misation sous contrainte . . . . . . . . . . . . .