Tangente hyperbolique

ee e µ tangent au mouvement R l'origine O0 de R0 , avec une vitesse nulle. Consid¶rons maintenant un intervalle de temps in¯nit¶simal dt dans R. Pendant ce temps, la e e particule se d¶place de dl = vdt. Les deux ¶v¶nements correspondant aux deux extr¶mit¶s de ce e e e e e mouvement in¯nit¶simal sont donc s¶par¶s par un intervalle e e e ds = c dt ¡ dl = c dt 2 2 2 2 2 2 Ã v2 1¡ 2 c ! : (1.12) Consid¶rons maintenant les deux m^mes ¶v¶nements dans R0 , le r¶f¶rentiel tangent. Dans

second cas en particulier on retrouve le pb de Képler, d’attraction entre deux particules. La vitesse initiale détermine le type de mouvement ultérieur (elliptique, hyperbolique, parabolique). Mouvement d’un mobile dans un cône On considère une masse ponctuelle dans un cône. On la lance au point C avec une vitesse horizontale tangente au cône en C. On suppose que le mouvement s’effectue sans frottement. Quel est le mouvement ultérieur de la masse ? Commentaires : exercice à résoudre in fine par une

égard, on défini le produit marginal ou productivité marginale comme l’augmentation de la production totale qui résulte de l’usage d’une unité supplémentaire du facteur de production. En formulation mathématique ce concept correspond à la pente de la tangente à la fonction de production, soit : 41 Si l'on considère que l’output et l’input sont des variables continues et l’on prend de très petites variation au voisinage d’un point de la fonction de production, la productivité marginale (Pm) serait

marginaux de substitution (TMS) le long de la courbe d’indifférence U = q1.q2 = 100 (fonction hyperbolique). - d q 2 ∂U ∂ q1 q2 ∂U ∂U On a : = q2 et = q1 D' où : TMS = = = ∂ q1 ∂ q2 d q1 ∂U ∂ q2 q1 Pour les trois points A, B et C de coordonnées respectives A (5 ; 20) ; B (10 ; 10) et C (20 ; 5), on trouvé les valeurs suivantes des TMS : TMSA= 4 ; TMSB = 1 ; TMSC = 0,25 ; Ces valeurs correspondent aux pentes des tangentes à la courbe d’indifférence, pour les trois points considérés. Elles expriment des équivalences

de cette manipulation est de déterminer par titrage acido-basique les pKa et pHi de deux acides aminés en solution et de déterminer leur concentration. On détermine dans un premier temps les points d’équivalence graphiquement par la méthode des tangentes parallèles. L’un de ces points sera le pHi de l’acide aminé. Dans un deuxième temps, il faut déterminer les pKa correspondants aux constantes de dissociation. Ces points se situent dans des zones de faible variation de pH. L’acide aminé joue un rôle

a pour image f (Z) = 0. Les images r´ciproques a e par f de 0 et 1 sont respectivement f −1 (0) = Z et f −1 (1) = 1 2k + , k ∈ Z .x 2 Fonctions usuelles  Exemple 1.2.4 La fonction tangente est d´finie sur R\ e (2k + 1)π sin x , k ∈ Z par tg : x → . 2 cos x La fonction sinus (resp. cosinus ) hyperbolique, not´e sh (resp. ch ), est d´finie pour e e La fonction de R2 dans R d´finie pour tout couple (x, y) par f (x, y) = |x| + |y| est dite e fonction ` deux variables. x a chaque r´el x par sh

le signe du TMS) pour e maintenir le mˆme niveau de satisfaction. e Remark 6. Graphiquement, le T MSY X donne les pentes des tangentes ` une a courbe d’indiff´rence (pour un panier de biens (X, Y ) donn´) (par d´finition!). e e e Proposition 3.2. Expression du TMS ` partir de la forme implicite de la courbe a d’indiff´rence. On diff´rentie et on recherche la pente de la tangente de la fonction e e implicite: 35 dX |{z} (3.1) Ã dU1 = 0 = dU (X, Y ) = UX dX + UY dY ⇒ dY UX = − < 0 ou > 0 dX

modes de notation : Normal, Sci, et Eng. Le mode décimal s’applique aux nombres suivants : • • • • • Un résultat affiché sur l’écran principal. Les coordonnées d’un graphique (Voir chapitres 3, 4, 5 et 6) Les coéfficients, dans DRAW, de l’équation de Tangent(, et les valeurs dy/dx (Voir chapitre 8) Les résultats d’opérations CALCULATE (Voir chapitres 3, 4, 5 et 6) Eléments d’une équation de régression stockés après l’exécution d’un modèle de régression (Voir chapitre 12) TI-83 Plus Utilisation de

deux variables réelles . . . . . . . . 3.5.1 Tracer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Limites à deux variables . . . . . . . . . 3.5.3 Dérivées partielles, différentielles totales 3.5.4 Différentiabilité, accroissements finis . . 3.5.5 Plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6 Dérivées de fonctions composées . . . . . 3.5.7 Dérivées de fonctions implicites . . . . . 3.5.8 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Réserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Algèbre linéaire,

variables réelles . . . . . . . . 3.5.1 Tracer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Limites à deux variables . . . . . . . . . 3.5.3 Dérivées partielles, différentielles totales 3.5.4 Différentiabilité, accroissements finis . . 3.5.5 Plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6 Dérivées de fonctions composées . . . . . 3.5.7 Dérivées de fonctions implicites . . . . . 3.5.8 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Réserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .