Tangente hyperbolique

d´riv´e d’une fonction (en un point) dont nous ea e e rappelons n´anmoins ci-dessous la d´finition ainsi que l’interpr´tation g´om´trique : la e e e e e tangente ` une courbe en un point (quand elle existe) est la droite qui “´pouse” le mieux a e possible la forme de la courbe en ce point ; la d´riv´e d’une fonction f est la pente de e e la tangente ` la courbe d’´quation y = f (x). Il est assez facile de voir que la d´riv´e a e e e d’une fonction croissante est positive, mais la r´ciproque qui est

∞ , voire d’une structure riemannienne. Une orientation d’une variété M est une orientation de son fibré vectoriel tangent τM , d’espace total T M . Si λ1 est le fibré normal sortant au bord de la variété, l’orientation du bord est donnée par la relation (τM )|∂M = τ∂M ⊕ λ. (1.1) Si f : M → V est une application lisse entre variétés, l’application induite entre les espaces tangents est notée T f : T M → T V et pour tout x ∈ M , l’application linéaire entre les fibres est notée Tx f : Tx M → Tf (x)

l’origine des temps pour l’étude d’un signal. Interpréter géométriquement ces propriétés. Interpréter géométriquement ces propriétés. Une fonction f est bornée si et seulement si | f | est majorée. Extremum, extremum local. b) Dérivation Équation de la tangente en un point. Interpréter géométriquement la dérivée d’une fonction en un point. Application à l’étude des variations d’une fonction. Dresser le tableau de variation d’une fonction. À ce stade, un tableau de variation clairement présenté, accompagné

fraction successives (//). 7.3 Fonctions numériques standard On peut citer les plus usuelles: SIN COS ALOG EXP SQRT ATAN TANH ABS IABS FLOAT IFIX SIGN CHAR ICHAR NINT MOD sinus cosinus logarithme népérien exponentielle racine carrée arc tangente tangente hyperbolique valeur absolue d'un réel valeur absolue d'un entier convertit d'entier à réel convertit de réel à entier transfert de signe conversion du code ASCII en caractère conversion inverse de la précédente fonction arrondi fonction modulo Les

d’opérations matricielles} • {CPLX} ... {menu de calculs avec nombres complexes} • {CALC} ... {menu d’analyse de fonctions} • {NUM} ... {menu de calculs numériques} • {PROB} ... {menu de calculs de probabilité/distribution} • {HYP} ... {menu de calculs hyperboliques} • {ANGL} ... {menu pour la conversion d’angles/coordonnées, entrée/conversion DMS} • {STAT} ... {menu de valeurs statistiques estimées à variable double} • {FMEM} ... {menu de mémoires de fonctions} • {ZOOM} ... {menu de fonctions de zoom} • {SKTCH}

la fonction f : R+∗ → R, x → Correction Exercice 3890 Inégalité Soient 0 < a < b. Montrer que : ∀ x > 0, ae−bx − be−ax > a − b. ln(1+ax) ln(1+bx) est croissante. [003889] [003890] Exercice 3891 Formules d’addition pour les fonctions hyperboliques Calculer ch(a + b), sh(a + b), th(a + b) en fonction de ch a, sh a, th a, ch b, sh b, th b. [003891] Exercice 3892 Simplification de a ch x + b sh x Soient a, b ∈ R non tous deux nuls. 1. Peut-on trouver A, ϕ ∈ R tels que : ∀ x ∈ R, a ch(x)

412 2. Plus grand dénominateur commun ................................................................... 414 3. Valeur test t ....................................................................................................... 416 4. Cercle et tangentes ........................................................................................... 418 5. Rotation d’une figure ......................................................................................... 425 Appendice .................

l'arc tangente en radian d'un nombre entre -pi/2 et pi/2 l'entier le plus proche par valeur supérieure le cosinus d'un angle en radian la valeur exponentielle d'une valeur l'entier le plus proche par valeur inférieure le log de nombre le maximum entre deux nombres le minimum entre deux nombres base puissance exposant une valeur aléatoire entre 0 et 1 l'entier le plus proche de la valeur donnée en argument le sinus de l'angle donné en radian la racine carrée de Math.sqrt(number) la tangente du nombre

primitives qui donnent les solutions pour une série de formes particulières. Les fonctions hyperboliques Fonction hyperbolique Dérivée sinh x  ex  e x 2 x e  e x cosh x  2 x e  e x tanh x  x  x e e  sinh x  '  cosh x  cosh x  '  sinh x  tanh x  '  1  tanh2 x  1 cosh2 x et leurs réciproques, les fonctions arguments hyperboliques sont souvent utiles. Fonction argument hyperbolique argsinh x   sinh x  1  ln x  x2  1 2 arg cosh x   cosh x  1  

retient la pierre, celle-ci quitte sa trajectoire circulaire et part en ligne droite. Pourquoi les planètes misent en mouvement autour du Soleil par les tourbillons de Descartes*, restent-elles alors sagement sur leur orbite et ne prennent pas la tangente ? Probablement parce que des forces les en empêchent. Newton reprend l’étude de sa fronde et calcule l’effort qu’exerce la pierre pour quitter sa trajectoire circulaire, notion que Huygens* baptisera plus tard force centrifuge. Cette effort est