Tétraèdre

le plan . . . 12.22 Aire d’un parallélogramme dans l’espace . . . 12.24 Volume d’un parallélépipède . . . . . . . . . . 12.25 Aire d’un triangle dans le plan . . . . . . . . 12.26 Aire d’un triangle dans l’espace . . . . . . . . 12.28 Volume d’un tétraèdre . . . . . . . . . . . . . 12.29 Propriétés du déterminant dans le plan . . . . 12.30 Propriétés du produit vectoriel dans l’espace . 12.31 Distances dans le plan . . . . . . . . . . . . . 12.32 Distances dans l’espace . . . . . . . . . . . . 12.33

n'entre ici s'il n'est géomètre. » En effet, pour Platon, la géométrie (en pure pensée) était un art qu'il fallait maîtriser pour être à ses yeux un philosophe complet. On a d'ailleurs surnommé, en hommage, les cinq polyèdres convexes réguliers (tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre) les solides platoniciens. Speusippe est le fils de Potone, sœur de Platon. Il naît en -407 à Athènes et meurt en -339 dans la même ville. Il critique l'hédonisme et est lui-même critiqué par Aristote. Il est

en outre un complément de plus en plus nécessaire des mesures provenant des essais in situ en génie civil. 1. Préparation des données Le milieu que l'on étudie est représenté sous forme d'assemblage d'éléments (triangles, quadrilatères, tores, tétraèdres, hexaèdres, etc.). S u r la figure 1, on reproduit un tel assemblage de triangles, appelé maillage, défini par les coordonnées des sommets et les liaisons entre ces sommets. La section de mécanique des roches du Laboratoire Central des Ponts

que les points A, B et C déterminent un seul plan que l'on notera b) Déterminer une équation cartésienne de 2. Justifier que ABCD est un tétraèdre. 3. Soit s la réflexion de plan P. P. P, h l'homothétie de centre A et de rapport (-2/3). a) Déterminer les coordonnées de l'image D' du point D par s. b) Calculer le volume de l'image par h o s du tétraèdre ABCD. 4. Déterminer une équation cartésienne de l'image P ' du plan P par h o s. EXERCICE 2 π −i ⎧ ⎪z0 = e 2 On considère

problèmes — de déterminer : “deux tétraèdres de bases égales et de hauteurs égales qui ne puissent d’aucune manière être décomposés en tétraèdres congruents, et qui ne puissent pas être combinés avec des tétraèdres congruents pour former deux polyèdres qui seraient eux-mêmes décomposables en tétraèdres congruents.” On trouve mention de ce problème dans deux lettres de Carl Friedrich Gauss datant de 1844 (publiées en 1900 dans le recueil des œuvres de Gauss). Si des tétraèdres de volume égal pouvaient être

perpendiculaires). Prisme : 2 polygones sur des plans parallèles (base), prisme droit, parallélépipède. Cône : à base circulaire joignant le somme, génératrices, cône de révolution, tronc de cône. Pyramide : une face polygone (base) joignant le sommet, tétraèdre (base triangulaire), pyramide régulière (base : polygone régulier), hauteur, tronc. Sphère : section d'une sphère par un plan, grand cercle si section passe par le centre. Deux figures sont dites semblables si elles ont la même forme et si les

analogue montre que AA1 · BC = 0. Conclusion : la droite (AA1 ) orthogonale à deux droites sécantes du plan (BCD) est orthogonale à ce plan. 2. La droite (AB) est perpendiculaire à (AC) et à (AD), dont est perpendiculaire au plan (ACD). Le volume du tétraèdre est donc égal à a2 a3 V = AB × S(ACD) = a × = . 2 2 D’après la question précédente on peut également utiliser la hauteur AA1 et la base (BCD) : 1 a 2× 3 a2 3 × a 2 = AA1 × . V = AA1 × S(BCD) = AA1 × 2 2 2 2 3 2 a a a 3 a 3 On a donc a × = = AA1 ×

0. Le vecteur −−→ FD est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est donc orthogonal à ce plan, ou encore la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC). c. Si l’on choisit comme base le triangle (ABC), la hauteur de ce tétraèdre est donc [FD] et la volume est égal à : V (ABCD) = 1 3 ×A (ABC)×FD Centres étrangers 4 11 mai 2022Baccalauréat spécialité sujet 1 A. P. M. E. P. Avec FD2 = 4+4+16 = 24, on trouve FD = p 24 = p 4×6 = 2 p 6, d’où : V (ABCD) = 1 3 ×2 p 6×2 p 6 = 4×6

Chapitre 8 : Géométrie élémentaire de l’espace Exercice 8.10 Soient A, B, C et D quatre points non coplanaires dans l’espace. On admet que le volume algébrique du tétraèdre ABC D (noté V (ABC D)) est égal à un sixième du volume algébrique du parallélépipède − − − → → → construit sur AB , AC , AD . a) Soit G le centre de gravité du tétraèdre ABC D, montrer que V (GABC) = −V (GBC D) = V (GC DA) = −V (G DAB). b) Montrer que V (ABC D) = −4V (GABC). Exercice 8.11 Soient D et D deux droites de l’espace passant

−𝟓 + 𝟔 = 𝟏 𝐳𝐇 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 ⟹ les coordonnées du point H, point d’intersection de la droite 𝓓 et du plan (BCD), sont (1 ; 1 ; 4) 5) AH est la hauteur du tétraèdre, car A est sur la droite 𝓓 orthogonale au plan (BCD) et H est le point d’intersection de la droite 𝓓 et du plan (BCD). Donc H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD). 𝐀𝐇⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝟒 −𝟔