Théorème de Zermelo

[pic]admet un plus petit élément. En d'autres termes : [pic]. Si de plus l'axiome du choix dépendant est vérifié, cette propriété (être bien ordonné) est équivalente à dire qu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante. D'après le théorème de Zermelo, l'axiome du choix dans toute sa force équivaut au fait que tout ensemble peut être bien ordonné, et donc peut être rendu isomorphe à un ordinal. 1. Exemples • L'ensemble vide, muni du seul ordre qui y soit possible : ( Ø, Ø ) (c'est le

les math´maticiens fondent e leur recherche sur une m´thode axiomatique. Un des derniers axiomes proe pos´s, et certainement l’un des plus controvers´s, est l’axiome du choix. e e 1.1 D´finitions e C’est dans un article de 1904 que Ernst Zermelo formule pour la premi`re e fois l’axiome du choix. Afin de pouvoir donner l’´nonc´ le plus courant de e e l’axiome, d´finissons tout d’abord la fonction de choix. e D´finition. Soit une famille non vide X d’ensembles non vides. Une fonce tion de choix

s’intercalerait entre celui des entiers et celui des réels. On pensait ces deux problèmes liés à l’époque de l’initiation du programme de Hilbert (Paul Cohen démontrera en 1963 que l’HC est en fait indécidable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) montrant ainsi l’indépendance de AC et HC). Voilà pourquoi Gödel s’attela à travailler sur ces deux problèmes conjointement. Gödel va répondre au premier des 23 problèmes du programme de Hilbert en démontrant l’indécidabilité de la

exploiter ses salariés ? Est-ce qu’une entreprise doit entrer sur un marché ou pas ? Faut-il contrôler les déclarations d’impots sur le revenu ? ... ` ´ Introduction a la Theorie des Jeux – p.3/77 Un peu d’histoire... Cournot (1838), Borel (1921) Zermelo (1913) Von Neumann (1928) “Theory of Games and Economic Behaviour”, Von Neumann et Morgenstern (1944) Nash (1950) Selten (1965), Harsanyi (1967) ` ´ Introduction a la Theorie des Jeux – p.4/77 Bibliographie ` ´ M. Yildizoglu. “Introduction

est la famille canoniquement associée à E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile

Ainsi le théorème d’incomplétude de Gödel stipule que dans toute axiomatique raisonnable qui ne contient que les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent être démontrées alors qu’elles sont vraies. Prenons l’exemple de l’axiome du choix, indémontrable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Ces lacunes empêchent toute théorie d’atteindre la vérité absolue. Cependant, on peut toujours ajouter l’axiome du choix et sa négation et sa négation à la théorie de Zermelo-Fraenkel

biologie/sc. naturelles (interaction des groupes) Le « joueur » (agent en interaction stratégique) peut d’ailleurs être un agent humain, mais aussi non humain (ordinateur, animal, plante…). En sc. Sociales : agent humain. c) Bref historique ZERMELO 1913 (1er théorème assurant que le jeu d’échec est strictement déterminé), VNM 1944 (« The theory of games and economic behaviour »), application en éco. NASH 1950 (résolution du dilemme du prisonnier, équilibre de Nash et fondations de la théorie moderne

division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse non standard

s’agit cette année de réfléchir à une question classique et qui sembla longtemps réglée : celle du rapport entre normativité juridique et normativité éthique. Alors que la théorie du droit naturel à ses débuts (Grotius) paraissait considérer que les théorèmes fondamentaux du droit naturel relevaient de la morale, la philosophie classique allemande (Kant, Fichte, Hegel) s’est efforcée de distinguer rigoureusement normativité juridique et éthique, dans leur domaine d’objectivité comme dans leur type d’organisation

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de