Théorème de Zermelo

chaque sous-jeux.) Pb :1°/induction à rebours nécessite calculs longs et trop lourds pour les capacités cognitives limitées des joueur (ex. du jeu d’échecs où l’information est parfaite mais où on ne peut prédire l’issue du match comme l’a montré Zermelo en 1913. 2°/ elle aboutit à des résultats contre-intuitifs : cf le jeu du mille pattes de Rosenthal 1981 Cet exemple illustre l’inefficacité des décisions non coopératives Les jeux répétés : Les joueurs sont plusieurs fois confrontés la même

entiers : P : ∀ n, ∃ m, m = n2 est vrai Q : ∀ n, ∃ m, n = m2 est faux Etant donné une proposition, le travail du mathématicien consiste à déterminer si elle est vraie ou fausse. S'il arrive à démontrer qu'elle est vraie, cette proposition est un théorème. On est amené à regrouper diverses propositions de la façon suivante : a) la conjonction : "P et Q" est une proposition qui sera vraie si et seulement si les deux propositions P et Q sont simultanément vraies. b) la dijonction : "P ou Q" est une

sans dégrader la situation de l’autre. •  Dans ce cas, un optimum de Pareto assure que toute offre rencontre sa demande; les ressources sont toutes 49 utilisées. L’efficacité des marchés concurrentiels Dès lors, si l’ensemble des règles du premier théorème de l’économie du bien-être (un équilibre compétitif est toujours Pareto efficient) sont respectées, alors les marchés sont efficients •  Pour évaluer l’état d’un marché, nous nous demandons souvent s’il réalise une situation d’efficacité économique

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il

probability Uniform convergence in probability Little o error notation Big O error notation Order symbols Asymptotic equivalence Convergence in Lp Almost sure convergence Convergence in distribution Central Limit Theorem for iid samples Central Limit Theorem for niid samples Slutsky’s Theorem Delta Method Parametric models . . . . . . . . . . . Parametric model Parameter Identification Identification in exponential families 7 Conditional homoscedasticity Regression model Linear regression model with

spatial inhomogeneity, is sufficiently strong to ultimately wipe out the inhomogeneity” (...) “a valid proof of the approach to equilibrium in a spatially varying problem requires just the opposite of the procedure that is followed in a proof of the H-Theorem, viz., to show that the distribution function does not approach too closely to a local Maxwellian.” Dans les ann´es 2000, Desvillettes et moi-mˆme [46] red´couvrions ce principe e e e formul´ par Grad, et ´tablissions une version de l’instabilit´

Solutions to exercises 10. A chaotic end? 1. Introduction 2. Literature 3. The Second World War 4. Abstraction and ‘Bourbaki’ 5. The computer 6. Chaos: the less you know, the more you get 7. From topology to categories 8. Physics 9. Fermat’s Last Theorem Appendix A. From Bourbaki, ‘Algebra’, Introduction Appendix B. Turing on computable numbers Solutions to exercises Conclusion Bibliography Index 228 231 231 232 232 235 235 236 238 240 243 246 249 251 254 256 256 258 260 263 271 List of figures

économique et optimalité Pareto va aller plus loin que la simple proposition du critère d'optimalité en reliant optimum et organisation économique. Cette relation entre optimum et organisation économique est aujourd'hui connu sous l'appellation des « théorèmes du bien-être » qui ont été démontrés dans les années 1950 par Arrow et Debreu. 1 → L'équilibre concurrentiel est un optimum de Pareto 2 → Un optimum de Pareto peut être atteint en mettant en place un équilibre concurrentiel Remarque: Walras

SYSTEME GENERAL extrême courage de logiciens 1 en butte aux sarcasmes de nombreux mathématiciens pour lesquels il n’est pas de salut en dehors de l’axiomatisation de la théorie des ensembles (et donc, pour eux, théorie des modèles) proposée par Zermelo en 1908 2. Une des interprétations suggérées par notre mise en perspective est peut-être de mettre en valeur l’importance de la pression culturelle considérable exercée — à son insu — par une école mathématique aujourd’hui dominante, le bourbakisme

SYSTEME GENERAL extrême courage de logiciens 1 en butte aux sarcasmes de nombreux mathématiciens pour lesquels il n’est pas de salut en dehors de l’axiomatisation de la théorie des ensembles (et donc, pour eux, théorie des modèles) proposée par Zermelo en 1908 2. Une des interprétations suggérées par notre mise en perspective est peut-être de mettre en valeur l’importance de la pression culturelle considérable exercée — à son insu — par une école mathématique aujourd’hui dominante, le bourbakisme